sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

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1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]-\infty ;\mathrm{e}\right[$ par $f\left(x\right)=\ln \left(\mathrm{e}-x\right)$ et on note $f\prime$sa fonction dérivée.
   $f\prime \left(0\right)$ est égal à :

   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-1}{\mathrm{e}-x}}$ d'où $f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   $-1$

   $-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   1

2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.
   On considère une fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que, pour tout $x>0$, on ait $0<g\left(x\right)<f\left(x\right)$.
   La limite de la fonction g en $+\infty$ est :

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}+{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$$ Ainsi, pour tout $x>0$, on a $0<g\left(x\right)<f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ donc d'après le théorème sur les limites par encadrement, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$

   $-\infty$

   0

   $+\infty$

   on ne peut pas savoir

3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3x+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^3}}$.
   Soit $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe $C_f$ :

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }3x+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^3}}=+\infty$$ Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ par conséquent, la courbe $C_f$ admet comme asymptote l'axe des ordonnées.

   admet comme asymptote la droite d'équation $x=0$

   admet comme asymptote la droite d'équation $y=3x+1$

   admet comme asymptote la droite d'équation $y=0$

   n'admet pas de droite asymptote

4. On note exp la fonction exponentielle.
   Soit u une fonction définie sur $ℝ$ telle que $u\left(0\right)=1$, $u\left(1\right)=0$ et $u\left(\mathrm{e}\right)=2$. Soit f la fonction définie par $f\left(x\right)=u\left[\exp \left(x\right)\right]$. $f\left(0\right)$ est égal à :

   $$f\left(0\right)=u\left[\exp \left(0\right)\right]=u\left(1\right)=0$$

   0

   1

   2

   e

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