sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$ par $f\left(x\right)=18\ln x-x^2+16x-15$.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f\left(x\right)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
On suppose que f est dérivable sur $\left[\mathrm{0,5};25\right]$, et on note $f\prime$ sa fonction dérivée.

partie a

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$. Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x+18}{x}}$ .

   Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{18}{x}}-2x+16& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x+18}{x}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x+18}{x}}$.

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$. En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

   Étudions le signe de la dérivée : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x+18}{x}}$ :

   • Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$, $x>0$ donc le quotient ${\displaystyle \frac{-2x^2+16x+18}{x}}$ est du même signe que le polynôme $-2x^2+16x+18$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

   • Recherche des racines éventuelles du polynôme du second degré $-2x^2+16x+18$ avec $a=-2$, $b=16$ et $c=18$.

     Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\mathrm{\Delta }=256+144=400={20}^2$$

     $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-16-20}{-4}}=9\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-16+20}{-4}}=-1\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$ ainsi que les variations de la fonction f :

   x	0,5		9		25
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			$36\ln 3+48$

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   calcul du maximum

   $$f\left(9\right)=18\ln 9-81+16\times 9-15=36\ln 3+48$$

3. 1. Calculer $f\left(1\right)$.

      $$f\left(1\right)=18\ln 1-1+16-15=0$$

      Ainsi, $f\left(1\right)=0$

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   2. Montrer que sur l'intervalle $\left[18;19\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α . Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10^{− 2} près.

      $$\begin{array}{cccc}& f\left(18\right)=18\ln 18-{18}^2+16\times 18-15=18\ln 18-51\hfill & \text{et}& f\left(19\right)=18\ln 19-{19}^2+16\times 19-15=18\ln 19-72\hfill \\ \text{Soit}& f\left(18\right)\approx \mathrm{1,03}\hfill & \text{et}& f\left(19\right)\approx -19\hfill \end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left[18;19\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(19\right)<0<f\left(18\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α avec $\alpha \in \left[18;19\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{18,05}$.

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   3. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

      À partir des variations de la fonction f et en sachant que $f\left(1\right)=0$ et $f\left(\alpha \right)=0$ avec $\alpha \approx \mathrm{18,05}$, nous pouvons établir le tableau du signe de $f\left(x\right)$

      x	0,5		1		α		25
      $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?

   D'après la question précédente, l'entreprise doit produire et vendre entre 100 et 1805 panneaux solaires photovoltaïques, pour être bénéficiaire

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ? Justifier la réponse.

   Le maximum de la fonction f est $$f\left(9\right)=36\ln 3+48\approx \mathrm{87,55}$$

   Le bénéfice mensuel maximal de l'entreprise est 87 550 €.

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partie b

1. On admet que la fonction G définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
   En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

   Une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$ est définie par $$F\left(x\right)=18\times \left(x\ln x-x\right)-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+16\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-15x=18x\ln x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+8x^2-33x$$

   La fonction F définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$ par $F\left(x\right)=18x\ln x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+8x^2-33x$ est une primitive F de la fonction f.

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2. Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$, où $a<b$.
   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle$\left[a;b\right]$est le nombre réel m défini par$m={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise, arrondie à la centaine d'euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires.

   $$\begin{array}{ccc}m={\displaystyle \frac{1}{18-1}}\times {\displaystyle {\int }_1^{18}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{17}}\times {\displaystyle {\left[18x\ln x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+8x^2-33x\right]}_1^{18}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{17}}\times \left[\left(18\times 18\ln 18-{\displaystyle \frac{{18}^3}{3}}+8\times {18}^2-33\times 18\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+8-33\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{17}}\times \left[\left(324\ln 18+54\right)-\left(-{\displaystyle \frac{76}{3}}\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{324\ln 18}{17}}+{\displaystyle \frac{238}{51}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{59,75}\hfill \end{array}$$

   Arrondie à la centaine d'euros près, la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires est de 59 800 €.

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