sujet : Antilles Guyane

Énoncé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$ par $f\left(x\right)=18\ln x-x^2+16x-15$.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f\left(x\right)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
On suppose que f est dérivable sur $\left[\mathrm{0,5};25\right]$, et on note $f\prime$ sa fonction dérivée.

partie a

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$. Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x+18}{x}}$ .

2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$. En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

3. 1. Calculer $f\left(1\right)$.

   2. Montrer que sur l'intervalle $\left[18;19\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α . Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10^{− 2} près.

   3. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ? Justifier la réponse.

partie b

1. On admet que la fonction G définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
   En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};25\right]$.

2. Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$, où $a<b$.
   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle$\left[a;b\right]$est le nombre réel m défini par$m={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l'entreprise, arrondie à la centaine d'euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux solaires.

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