sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Montrer que $u_1=86$.

   La première semaine, 80 enfants se sont inscrits et la semaine suivante 5 % des enfants ne se réinscrivent pas à la natation, alors que 10 nouveaux enfants s'y inscrivent donc : $$u_1=80\times \mathrm{0,95}+10=86$$

   Ainsi, $u_1=86$ .

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2. Pour tout entier naturel n, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

   D'une semaine sur l'autre 5 % des enfants ne se réinscrivent pas à la natation, alors que dans le même temps 10 nouveaux enfants s'y inscrivent donc :

   pour tout entier n naturel on a $u_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+10$.

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3. Pour tout entier naturel n, on pose $a_n=u_n-200$. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   Pour tout entier naturel n, exprimer $a_n$ en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $u_n=200-120\times {\mathrm{0,95}}^n$.

   • $a_0=80-200=-120$ et pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{a}_{n+1}=u_{n+1}-200& \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+10-200\hfill \\ & \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n-190\hfill \\ & \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,95}\times \left(u_n-200\right)\hfill \\ & \iff & a_{n+1}=\mathrm{0,95}{a}_n\hfill \end{array}$$

     Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{0,95}{a}_n$ donc $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95. Le premier terme est $a_0=-120$.

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   • $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $a_0=-120$ alors pour tout entier naturel n, $$a_n=-120\times {\mathrm{0,95}}^n$$

     Or pour tout entier naturel n, $a_n=u_n-200$ Soit $u_n=200+a_n$.

     Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_n=200-120\times {\mathrm{0,95}}^n$.

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   Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

4. Montrer que pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}-u_n=6\times {\mathrm{0,95}}^n$. En déduire que le nombre d'inscriptions à la natation augmente toutes les semaines.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(200-120\times {\mathrm{0,95}}^{n+1}\right)-\left(200-120\times {\mathrm{0,95}}^n\right)\hfill \\ & =& 120\times \left({\mathrm{0,95}}^n-{\mathrm{0,95}}^{n+1}\right)\hfill \\ & =& 120\times {\mathrm{0,95}}^n\times \left(1-\mathrm{0,95}\right)\hfill \\ & =& 6\times {\mathrm{0,95}}^n\hfill \end{array}$$

   Or pour tout entier naturel n, ${\mathrm{0,95}}^n>0$. D'où pour tout entier naturel n, $6\times {\mathrm{0,95}}^n>0$.

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_n>0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Par conséquent, le nombre d'inscriptions à la natation augmente toutes les semaines.

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Après combien de semaines, le contexte restant le même, le nombre d'enfants inscrits à la piscine dépassera-t-il 150 ?

   On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : $$\begin{array}{cccc}200-120\times {\mathrm{0,95}}^n>150& \iff & -120\times {\mathrm{0,95}}^n>-50\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,95}}^n<{\displaystyle \frac{50}{120}}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,95}}^n\right)<\ln \left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)\hfill & \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,95}<\ln \left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)\hfill & \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}{\ln \mathrm{0,95}}}\hfill & \ln \mathrm{0,95}<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}{\ln \mathrm{0,95}}}\approx \mathrm{17,07}$ donc le plus petit entier est $n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{5}{12}}\right)}{\ln \mathrm{0,95}}}$ est 18.

   Le nombre d'enfants inscrits à la piscine dépassera 150 après 18 semaines.

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