sujet : Nouvelle Calédonie mars 2011

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

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Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right[$ par $f\left(x\right)=-x+2+\ln \left(2x+1\right)$ et soit C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1. C admet une tangente horizontale au point :

   La courbe C admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x_0$ solution de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$. Or $$f\prime \left(x\right)=-1+{\displaystyle \frac{2}{2x+1}}={\displaystyle \frac{1-2x}{2x+1}}$$

   Pour tout réel $x\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $$\begin{array}{ccccccc}{\displaystyle \frac{1-2x}{2x+1}}=0& \iff & 1-2x=0& \iff & 1-2x=0& \iff & x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, la courbe C admet une tangente horizontale au point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right)$. Or $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2+\ln \left(2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2$$

   Donc la courbe C admet une tangente horizontale au point $A\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2\right)$

   a)  $A\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2\right)$

   b)  $B\left(0;2\right)$

   c)  $C\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}+\ln 2\right)$

2. La limite de f en $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ est égale à :

   $\underset{x\to -\frac{1}{2}}{\lim }\left(2x+1\right)=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors par composition des limites, $\underset{x\to -\frac{1}{2}}{\lim }\ln \left(2x+1\right)=-\infty$.
   Donc $\underset{x\to -\frac{1}{2}}{\lim }-x+2+\ln \left(2x+1\right)=-\infty$. Soit $\underset{x\to -\frac{1}{2}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   a)  ${\displaystyle \frac{5}{2}}$

   b)  $-\infty$

   c)  $+\infty$

3. Le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ dans l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right[$ est égal à  :

   Étudions les variations de la fonction f.

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2x}{2x+1}}$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f

   x	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$				${\displaystyle \frac{1}{2}}$			5
   $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2$		$-3+\ln 11$

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   Or ${\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2\approx \mathrm{2,2}$ et $-3+\ln 11\approx -\mathrm{0,6}$

   La fonction f est continue, strictement monotone sur chacun des intervalles $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ et $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right[$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   Sur chacun des deux intervalles, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $x_1\in \left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ et $x_2\in \left]{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right[$. Donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.

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   a)  0

   b)  1

   c)  2

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