Baccalauréat deuxième session 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2011

Énoncé de 4 : commun à tous les candidats

L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule $C (x) = 15 x^{3} - 120 x^{2} + 500 x + 750$ Le graphique de l'annexe 2 donne la représentation graphique de la fonction C.

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a : Étude du bénéfice

Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité x est égal à $R (x) = p x$ .

Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{1}$ d'équation $y = 400 x$ .
Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400 euros.
Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
1. Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{2}$ d'équation $y = 680 x$ .
  Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros.
2. On considère la fonction B définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = 680 x - C (x)$
  Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $[0; 10]$ on a $B' (x) = - 45 x^{2} + 240 x + 180$ .
3. Étudier les variations de la fonction B sur $[0; 10]$ .
  En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.

partie b : Étude du coût moyen

On rappelle que le coût moyen de production $C_{M}$ mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction $C_{M}$ définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C_{M} (x) = \frac{C (x)}{x}$ .

Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ on a $C_{M}' (x) = \frac{30 (x - 5) (x^{2} + x + 5)}{x^{2}}$ .
1. Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ , $C_{M}' (x)$ est du signe de $(x - 5)$ .
  En déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $] 0; 10]$ .
2. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ?
  Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?

annexe 2

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