sujet : Nouvelle Calédonie mars 2011

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

1. Déterminer à l'aide de la calculatrice l'équation $y=ax+b$ de la droite D d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés.
   Les coefficients a et b seront arrondis au centième. Aucune justification n'est demandée.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=-\mathrm{0,89}x+\mathrm{51,05}$ ( coefficients arrondis au centième).

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2. Tracer la droite D dans le repère de l'annexe 1.

3. En utilisant ce modèle, quel nombre de clients pouvait-on prévoir pour les années 2006 et 2007 ?

   Les rangs des années 2006 et 2007 sont respectivement 6 et 7. D'où une estimation du nombre de clients que l'on peut prévoir pour ces deux années : $$\begin{array}{ccc}-\mathrm{0,89}\times 6+\mathrm{51,05}=\mathrm{45,71}& \text{et}& -\mathrm{0,89}\times 7+\mathrm{51,05}=\mathrm{44,82}\end{array}$$

   Selon cet ajustement, il devrait y avoir environ 4 570 clients en 2006 et 4 480 clients en 2007.

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partie b

1. 1. À l'aide de ces valeurs compléter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ de la série statistique sur le document de l'annexe 1.

   2. Le modèle d'ajustement trouvé dans la partie A vous paraît-il pertinent pour la période 2006 -2009 ? Justifier la réponse.

      La modélisation à l'aide d'une fonction décroissante ne permet pas de prévoir l'augmentation du nombre de clients constatée pour la période 2006 -2009.

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2. On considère la fonction f définie sur $\left[0;9\right]$ par $f\left(x\right)=2x+15+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{3,6}}$.
   On choisit un nouveau modèle d'évolution : on prend le nombre $f\left(x\right)$ comme estimation du nombre de centaines de clients de ce restaurant au cours de l'année 2000 + x.

   1. Calculer $f\left(7\right)$. Le choix de ce modèle d'évolution semble-t-il pertinent pour l'année 2007 ?

      $f\left(7\right)=2\times 7+15+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\times 7+\mathrm{3,6}}\approx \mathrm{47,17}$

      $f\left(7\right)$ est proche de la valeur observée pour l'année 2007.

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      remarque

      Cette question est mal formulée. Pour valider un modèle d'ajustement, il ne suffit pas de considérer une seule valeur, il faut encore que les écarts constatés entre les données observées et les valeurs calculées soient « suffisamment petits ».

   2. D'après ce modèle d'évolution, à combien peut-on estimer le nombre de clients qui fréquenteront le restaurant en 2010 ? (On donnera le résultat arrondi à la centaine de clients).

      $f\left(10\right)=2\times 10+15+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\times 7+\mathrm{3,6}}\approx \mathrm{48,46}$

      D'après ce modèle, on peut estimer qu'en 2010 environ 4 800 clients fréquenteront le restaurant.

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