Baccalauréat deuxième session 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2011

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule $C (x) = 15 x^{3} - 120 x^{2} + 500 x + 750$ Le graphique de l'annexe 2 donne la représentation graphique de la fonction C.

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a : Étude du bénéfice

Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité x est égal à $R (x) = p x$ .

Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{1}$ d'équation $y = 400 x$ .
Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400 euros.
annexe 2
La droite $D_{1}$ est en dessous de la courbe représentative de la fonction C. Donc pour tout réel x appartenant à $[0; 10]$ , $C (x) > 400 x$ . C'est à dire que :
si le prix p du marché est égal à 400 euros alors le coût total de production est supérieur à la recette donc l'entreprise ne peut pas réaliser un bénéfice.

Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.

Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{2}$ d'équation $y = 680 x$ .
Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros.
L'entreprise CoTon réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.
Avec la précision permise par le dessin, la « plage de rentabilité » est obtenue pour une production comprise entre 2,1 et 8,7 kilomètres de tissu.
On considère la fonction B définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = 680 x - C (x)$
Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $[0; 10]$ on a $B' (x) = - 45 x^{2} + 240 x + 180$ .
La fonction B est définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = 680 x - C (x)$ . Soit $B (x) = 680 x - (15 x^{3} - 120 x^{2} + 500 x + 750) \Leftrightarrow B (x) = - 15 x^{3} + 120 x^{2} + 180 x - 750$
La fonction B est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle $[0; 10]$ et $B' (x) = - 15 \times 3 \times x^{2} + 120 \times 2 \times x + 180 = - 45 x^{2} + 240 x + 180$
La dérivée de la fonction B est la fonction $B'$ définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B' (x) = - 45 x^{2} + 240 x + 180$ .

Étudier les variations de la fonction B sur $[0; 10]$ . En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.

Les variations de B, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée $B'$

Étudions le signe du polynôme du second degré $- 45 x^{2} + 240 x + 180$ avec $a = - 45$ , $b = 240$ et $c = - 180$

$Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $Δ = 57600 - 4 \times (- 45) \times 180 = 90 000$ , le polynôme admet deux racines : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \\ Soit & x_{1} = \frac{- 240 - 300}{- 90} = 6 & et & x_{2} = \frac{- 240 + 300}{- 90} = - \frac{2}{3} \end{array}$

Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de $B'$ et les variations de B sur l'intervalle $[0; 10]$ .

x	0		6		10
$B' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$B (x)$	− 750		1410		− 1950

D'après le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle $[0; 10]$ , le bénéfice est maximal pour la production et la vente de 6 kilomètres de tissu. D'autre part, $B (6) = - 15 \times 6^{3} + 120 \times 6^{2} + 180 \times 6 - 750 = 1410$

Le bénéfice maximal est de 1410 € pour la production et la vente de 6 kilomètres de tissu.

partie b : Étude du coût moyen

On rappelle que le coût moyen de production $C_{M}$ mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction $C_{M}$ définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C_{M} (x) = \frac{C (x)}{x}$ .

Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ on a $C_{M}' (x) = \frac{30 (x - 5) (x^{2} + x + 5)}{x^{2}}$ .

La fonction $C_{M}$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur l'intervalle $] 0; 10]$ et $C_{M}' (x) = \frac{C' (x) \times x - 1 \times C (x)}{x^{2}}$ . Soit $\begin{matrix} C_{M}' (x) & = & \frac{(45 x^{2} - 240 x + 500) \times x - (15 x^{3} - 120 x^{2} + 500 x + 750)}{x^{2}} \\ = & \frac{45 x^{3} - 240 x^{2} + 500 x - 15 x^{3} + 120 x^{2} - 500 x - 750}{x^{2}} \\ = & \frac{30 x^{3} - 120 x^{2} - 750}{x^{2}} \\ = & \frac{30 (x^{3} - 4 x^{2} - 25)}{x^{2}} \end{matrix}$

Or pour tout réel x, $(x - 5) (x^{2} + x + 5) = x^{3} + x^{2} + 5 x - 5 x^{2} - 5 x - 25 = x^{3} - 4 x^{2} - 25$

Donc pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ on a $C_{M}' (x) = \frac{30 (x - 5) (x^{2} + x + 5)}{x^{2}}$ .

Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ , $C_{M}' (x)$ est du signe de $(x - 5)$ .
En déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $] 0; 10]$ .

Le discriminant Δ du polynôme du second degré $P (x) = x^{2} + x + 5$ est négatif donc pour tout réel x, $x^{2} + x + 5 > 0$ . D'autre part, pour tout réel x, $x^{2} ⩾ 0$

Par conséquent, pour tout x appartenant à l'intervalle $] 0; 10]$ , l'expression $\frac{30 (x - 5) (x^{2} + x + 5)}{x^{2}}$ est du signe de $(x - 5)$ .

Les variations de la fonction $C_{M}$ , se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir le tableau des variations de $C_{M}$ sur l'intervalle $] 0; 10]$

x	0		5		10
$C_{M}' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C_{M} (x)$			$C_{M} (5)$

Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ?
Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?
D'après le tableau des variations de la fonction $C_{M}$ le coût moyen de production est minimum pour la production 5 kilomètres de tissu. D'autre part, $\begin{matrix} C (5) = 15 \times 5^{3} - 120 \times 5^{2} + 500 \times 5 + 750 = 2125 & et & C_{M} (5) = \frac{2125}{5} = 425 \end{matrix}$
Le coût moyen de production minimum est de 425 euros le kilomètre de tissu pour une production de 5 kilomètres de tissu ce qui correspond à un coût total de production de 2 125 euros.

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