sujet : La Réunion

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, quatre réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse jugée correcte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

1. L'égalité $\ln \left[\exp \left(x\right)\right]=x$ :

   Pour tout réel x, $\exp \left(x\right)>0$. Donc l'égalité $\ln \left[\exp \left(x\right)\right]=x$ est vraie pour tout réel x.

   1. n'est vraie que pour tout réel x strictement positif.

   2. est vraie pour tout réel x.

   3. n'est jamais vraie.
   4. n'est vraie que pour tout réel x supérieur ou égal à 1.

2. L'égalité $\exp \left[\ln \left(x\right)\right]=x$ est vraie pour tout réel x appartenant à :

   La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Donc l'égalité $\exp \left[\ln \left(x\right)\right]=x$ est vraie pour tout réel x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$.

   1. $\left[0;+\infty \right[$
   2. $ℝ$

   3. $\left]0;+\infty \right[$

   4. $\left[-1;+\infty \right[$

3. On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d'obtenir au moins une fois pile est :

   La loi de probabilité asoociée au nombre de pile obtenus est une loi binomiale de paramètres 4 et ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   L'évènement « obtenir au moins une fois pile » est l'évènement contraire de l'évènement « obtenir quatre fois face ». D'où la probabilité p chechée : $$p=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{15}{16}}$$

   1. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

   2. ${\displaystyle \frac{15}{16}}$

   3. ${\displaystyle \frac{1}{16}}$
   4. ${\displaystyle \frac{1}{8}}$

4. Soit f la fonction définie et dérivable sur $ℝ$ , d'expression : $f\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^{2x}-x+1$. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est : $$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=3{\mathrm{e}}^0+1=4$ et pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=6{\mathrm{e}}^{2x}-1$. D'où $f\prime \left(0\right)=6{\mathrm{e}}^0-1=5$

   Ainsi, la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation $y=5x+4$

   1. $y=2x+4$
   2. $y=6x+4$

   3. $y=5x+4$

   4. $y=5x-4$

5. On considère l'inéquation $\ln \left(3-x\right)⩽0$. Elle admet pour ensemble de solutions :

   Soit x un réel, $$\begin{array}{ccc}\ln \left(3-x\right)⩽0& \iff & 0<3-x⩽1\hfill \\ & \iff & -3<-x⩽-2\hfill \\ & \iff & 2⩽x<3\hfill \end{array}$$

   Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln \left(3-x\right)⩽0$ est l'intervalle $\left[2;3\right[$

   1. $\left]0;3\right]$

   2. $\left[2;3\right[$

   3. $\left[2;+\infty \right[$
   4. $\left]0;2\right]$

6. $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{\left(-2+\frac{1}{x}\right)}$ est égale à :

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }-2+{\displaystyle \frac{1}{x}}=-2$ et $\underset{X\to -2}{\lim }{\mathrm{e}}^X={\mathrm{e}}^{-2}$ donc par composition des limites, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{\left(-2+\frac{1}{x}\right)}={\mathrm{e}}^{-2}$

   1. 0
   2. $+\infty$

   3. ${\mathrm{e}}^{-2}$

   4. $-\infty$

7. Soit g la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}$. Sa courbe représentative admet :

   $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}=+\infty$. Ainsi, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote la droite d'équation $x=1$.

   D'autre part, pour tout réel $x\ne 1$, $${\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}={\displaystyle \frac{2\left(x-1\right)+3}{x-1}}=2+{\displaystyle \frac{3}{x-1}}$$ D'où $$\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)-2=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3}{x-1}}=0$$donc la courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote la droite d'équation $y=2$ au voisinage de $+\infty$.

   Ainsi, la courbe représentative de la fonction g admet deux asymptotes.

   1. une unique asymptote. Elle est parallèle à l'axe des abscisses.
   2. une unique asymptote. Elle est parallèle à l'axe des ordonnées.

   3. deux asymptotes.

   4. aucune asymptote.

8. Soit h la fonction définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ d'expression $h\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-x$. Soit $h\prime$ la fonction dérivée de h sur $\left]0;+\infty \right[$. Alors l'expression de $h\prime$ est :

   Pour tout réel x strictement positif, $$h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-1={\displaystyle \frac{2-x}{x}}$$

   1. $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-x}{x}}$

   2. $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-x$
   3. $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1$
   4. $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}+1$

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