On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle . On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d'abscisses respectives 0 ; 6 et 11.
On note la fonction dérivée de la fonction f.
Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) :
Donner les valeurs exactes de , , et .
Les coordonnées du point A sont d'où
Les coordonnées du point B sont d'où
La tangente à la courbe au point passe par le point de coordonnées , son coefficient directeur est
La tangente à la courbe au point D est parallèle à l'axe des abscisses donc
Indiquer si la courbe C admet un point d'inflexion. Si oui, préciser ce point.
La courbe C traverse sa tangente en E donc la courbe C admet le point E d'abscisse 11 comme point d'inflexion.
Déterminer un encadrement, d'amplitude 4, par deux nombres entiers de .
Sur l'intervalle , la courbe C est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
À l'aide du quadrillage, on trouve
Indiquer le nombre de solutions de l'équation . Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité.
La droite d'équation coupe la courbe C en deux points.
L'équation admet deux solutions et
La fonction f est définie sur l'intervalle par .
Montrer que où désigne la fonction dérivée de f sur l'intervalle .
f est dérivable sur l'intervalle comme produit de deux fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier le signe de sur .
Pour tout réel x, . Donc est du même signe que . Or Nous pouvons établir le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x :
x | 0 | 6 | 20 | ||
Signe de | + | − |
Dresser le tableau de variations de f sur . On fera apparaître les valeurs exactes de et .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :
x | 0 | 6 | 20 | ||
Signe de | + | − | |||
Variations de f |
Justifier que l'équation admet une unique solution α sur . Donner la valeur arrondie au millième de α.
La fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante sur l'intervalle et et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
L'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve
Montrer que la fonction F définie sur par est une primitive de f sur .
F est dérivable sur l'intervalle comme produit de deux fonctions dérivables.
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction F définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction f.
Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle . Donner sa valeur exacte.
La valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle est
La valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle est .
Une entreprise fabrique x centaines d'objets où x appartient à . La fonction f des parties A et B modélise le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euros, en supposant que toute la production est vendue.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation admet une autre solution β sur dont la valeur arrondie au millième est 13,903.
Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins 4000 € ? (Arrondir à l'unité).
L'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 4000 € pour toute production de x centaines d'objets solution de l'inéquation .
D'après l'étude des variations de la fonction f, le bénéfice est d'au moins 4000 € pour toute production de x centaines d'objets telle que
Le bénéfice est d'au moins 4000 € pour une production comprise entre 226 et 1390 objets.
L'entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets. Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est donc :
La valeur moyenne du bénéfice pour une production comprise entre 400 et 800 objets est de 7324 euros.
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