Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d'abscisses respectives 0 ; 6 et 11.
On note f la fonction dérivée de la fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) :

  1. Donner les valeurs exactes de f(0), f(1), f(0) et f(6).

    • Les coordonnées du point A sont A(0;-5) d'où f(0)=-5


    • Les coordonnées du point B sont B(1;0) d'où f(1)=0


    • La tangente à la courbe au point A(0;-5) passe par le point de coordonnées (1;1), son coefficient directeur est f(0)=-6-1=6


    • La tangente à la courbe au point D est parallèle à l'axe des abscisses donc f(6)=0


  2. Indiquer si la courbe C admet un point d'inflexion. Si oui, préciser ce point.

    La courbe C traverse sa tangente en E donc la courbe C admet le point E d'abscisse 11 comme point d'inflexion.


  3. Déterminer un encadrement, d'amplitude 4, par deux nombres entiers de I=48f(x)dx.

    Sur l'intervalle [4;8], la courbe C est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale I=48f(x)dx mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=4 et x=8.

    À l'aide du quadrillage, on trouve 2748f(x)dx31


  4. Indiquer le nombre de solutions de l'équation f(x)=4. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité.

    La droite d'équation y=4 coupe la courbe C en deux points.

    L'équation f(x)=4 admet deux solutions 2<x1<3 et 13<x2<14


partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle [0;20] par f(x)=(5x-5)e-0,2x.

  1. Montrer que f(x)=(-x+6)e-0,2xf désigne la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0;20].

    f est dérivable sur l'intervalle [0;20] comme produit de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;20], {u(x)=5x-5;u(x)=5v(x)=e-0,2x;v(x)=-0,2e-0,2x

    Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;20], f(x)=5e-0,2x-0,2×(5x-5)e-0,2x=[5-0,2×(5x-5)]e-0,2x=(5-x+1)e-0,2x=(6-x)e-0,2x

    Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [0;20] par f(x)=(-x+6)e-0,2x.


    1. Étudier le signe de f(x) sur [0;20].

      Pour tout réel x, e-0,2x>0. Donc f(x) est du même signe que -x+6. Or -x+60x6 Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x :

      x0 6 20
      Signe de f(x) +0|| 
    2. Dresser le tableau de variations de f sur [0;20]. On fera apparaître les valeurs exactes de f(0) et f(6).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x0620
      Signe de f(x)+0||
      Variations de f

      -5

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      25e-1,2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Justifier que l'équation f(x)=4 admet une unique solution α sur [0;6]. Donner la valeur arrondie au millième de α.

    La fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante sur l'intervalle [0;6] et f(0)=-5 et f(6)=25e-1,27,5 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    L'équation f(x)=4 admet une unique solution α[0;6]. À l'aide de la calculatrice, on trouve α2,256


    1. Montrer que la fonction F définie sur [0;20] par F(x)=(-25x-100)e-0,2x est une primitive de f sur [0;20].

      F est dérivable sur l'intervalle [0;20] comme produit de deux fonctions dérivables.

      F=uv d'où F=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;20], {u(x)=-25x-100;u(x)=-25v(x)=e-0,2x;v(x)=-0,2e-0,2x

      Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;20], F(x)=-25e-0,2x-0,2×(-25x-100)e-0,2x=[5-0,2×(-25x-100)]e-0,2x=(-25+5x+20)e-0,2x=(5x-5)e-0,2x

      Pour tout réel x de l'intervalle [0;20], F(x)=f(x) donc la fonction F définie sur l'intervalle [0;20] par F(x)=(-25x-100)e-0,2x est une primitive de la fonction f.


    2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [4;8]. Donner sa valeur exacte.

      La valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle [4;8] est m=18-4×48f(x)dx=14×[F(8)-F(4)]=-300e-1,6+200e-0,84=50e-0,8-75e-1,6

      La valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle [4;8] est m=50e-0,8-75e-1,6.


partie c

Une entreprise fabrique x centaines d'objets où x appartient à [0;20]. La fonction f des parties A et B modélise le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euros, en supposant que toute la production est vendue.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation f(x)=4 admet une autre solution β sur [6;20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

  1. Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins 4000 € ? (Arrondir à l'unité).

    L'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 4000 € pour toute production de x centaines d'objets solution de l'inéquation f(x)4.

    D'après l'étude des variations de la fonction f, le bénéfice est d'au moins 4000 € pour toute production de x centaines d'objets telle que αxβ

    Le bénéfice est d'au moins 4000 € pour une production comprise entre 226 et 1390 objets.


  2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets. Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [4;8] est m=50e-0,8-75e-1,67,324 donc :

    La valeur moyenne du bénéfice pour une production comprise entre 400 et 800 objets est de 7324 euros.



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