Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane 2013

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

  1. Une augmentation de 20 % suivie d'une augmentation de 15 % est équivalente à une augmentation globale de :

     a.   17,5 %

     b.   30 %

     c.   35 %

     d.   38 %

  2. Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On donne ci-contre la représentation graphique C d'une fonction f définie sur 010.

    La tangente à la courbe C au point A d'abscisse 5 est tracée.

    Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée f de la fonction f.


    Courbe représentative de la fonction f1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     a.   Courbe C1

    Courbe représentative de la fonction f2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     b.   Courbe C2

    Courbe représentative de la fonction f3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     c.   Courbe C3

    Courbe représentative de la fonction f4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     d.   Courbe C4

  3. Soit la fonction f définie sur 0+ par fx=lnxx et f sa fonction dérivée. On a :

     a.   fx=lnx-1x2

     b.   fx=1-lnxx2

     c.   fx=1x2

     d.   fx=1+lnxx2

  4. On considère la suite géométrique un de premier terme u0=2 et de raison q=1,05. La somme S des 12 premiers termes de cette suite est donnée par :

     a.   S=2×1-1,05121-1,05

     b.   S=2×1-1,05131-1,05

     c.   S=2×1-2131-2

     d.   S=2×1-21-212

  5. X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 22 et d'écart-type 3. Une valeur approchée à 10- 2 de la probabilité de l'évènement X2228 est :

     a.   0,2

     b.   0,28

     c.   0,48

     d.   0,95


exercice 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 020. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d'abscisses respectives 0 ; 6 et 11.
On note f la fonction dérivée de la fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) :

  1. Donner les valeurs exactes de f0, f1, f0 et f6.

  2. Indiquer si la courbe C admet un point d'inflexion. Si oui, préciser ce point.

  3. Déterminer un encadrement, d'amplitude 4, par deux nombres entiers de I=48fxdx.

  4. Indiquer le nombre de solutions de l'équation fx=4. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité.

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle 020 par fx=5x-5e-0,2x.

  1. Montrer que fx=-x+6e-0,2xf désigne la fonction dérivée de f sur l'intervalle 020.

    1. Étudier le signe de fx sur 020.

    2. Dresser le tableau de variations de f sur 020. On fera apparaître les valeurs exactes de f0 et f6.

  2. Justifier que l'équation fx=4 admet une unique solution α sur 06. Donner la valeur arrondie au millième de α.

    1. Montrer que la fonction F définie sur 020 par Fx=-25x-100e-0,2x est une primitive de f sur 020.

    2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 48. Donner sa valeur exacte.

partie c

Une entreprise fabrique x centaines d'objets où x appartient à 020. La fonction f des parties A et B modélise le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euros, en supposant que toute la production est vendue.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation fx=4 admet une autre solution β sur 620 dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

  1. Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins 4000 € ? (Arrondir à l'unité).

  2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets. Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d'ordinateurs portables, de tablettes, et d'ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.

Le responsable constate que 28 % des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48 % pour un ordinateur portable.

Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu'il peut souscrire ou non une extension de garantie.

Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5 % ont souscrit une extension de garantie.

On choisit au hasard un de ces acheteurs.

On note aussi F¯ , M¯ , T¯ , G¯ les évènements contraires.

  1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l'énoncé.

  2. Calculer PF la probabilité de l'évènement F, puis PFG.

  3. On sait de plus que 12 % des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie.
    Déterminer la probabilité qu'un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie.

  4. Montrer que PG=0,164.

  5. Pour tous les appareils, l'extension de garantie est d'un montant de 50 euros. Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque 1000 appareils seront vendus ?


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux.
La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.

Légende :

Départ

Passerelle

Roche percée

Col des 3 vents

Pic rouge

Refuge

Col vert

Pont Napoléon

Cascade des anglais

Arrivée


  1. Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n'empruntant pas forcément tous les sentiers.

  2. Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? Justifier votre réponse.

  3. On note M la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre. On donne M5=56787582595754 40263178889589965750654830759568687768467352238289686298492979671359967798508280402446575768498236256849165450462980251073605406573794068733214482648526724496014639313023134616548392.

    1. Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne ?

    2. Déterminer le nombre d'itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge.

  4. On a complété ci-dessous, le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Déterminer l'itinéraire allant de D à A le plus court en temps. On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme.



exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.
Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l'exercice.

partie a

La direction d'une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d'embauche du personnel :

On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :

CDICDDEffectif total
Site de production A315106421
Site de production B521668
  1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production.

  2. Pour une proportion p=0,8, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille n, pour n=421 et pour n=68.

  3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ?

partie b

Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque n30, np5 et n1-p5, où p désigne la proportion dans une population, et n désigne la taille d'un échantillon de cette population.

La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

  1. S'il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer.

  2. S'il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer.

  3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100, dans lequel 9 composants électroniques s'avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ?




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