sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.
Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l'exercice.

partie a

1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production.

   ${\displaystyle \frac{315}{421}}\approx \mathrm{0,748}$ et ${\displaystyle \frac{52}{68}}\approx \mathrm{0,765}$

   74,8 % des contrats d'embauche sur le site A sont en CDI et sur le site B 76,5 % des contrats d'embauche sont en CDI.

   ---

2. Pour une proportion $p=\mathrm{0,8}$, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillons de taille n, pour $n=421$ et pour $n=68$.

   • site a

     $n=421$, $np=421\times \mathrm{0,8}=\mathrm{336,8}$ et $n\left(1-p\right)=461\times \mathrm{0,2}=\mathrm{84,2}$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,8}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}}{421}}};\mathrm{0,8}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}}{421}}}\right]\end{array}$$

     Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % relatifs à un échantillon de taille $n=421$ est $I=\left[\mathrm{0,762};\mathrm{0,838}\right]$.

     ---

   • site b

     $n=68$, $np=68\times \mathrm{0,8}=\mathrm{54,4}$ et $n\left(1-p\right)=68\times \mathrm{0,2}=\mathrm{13,6}$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,8}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}}{68}}};\mathrm{0,8}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}}{68}}}\right]\end{array}$$

     Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % relatifs à un échantillon de taille $n=68$ est $I=\left[\mathrm{0,705};\mathrm{0,895}\right]$.

     ---

3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ?

   Cette question est ambiguë dans la mesure où la direction impose aux deux sites de production la proportion de 80 % de contrats d'embauche en CDI et que les données concernent les effectifs des deux sites de l'entreprise et non pas un échantillon de la population des deux sites. Par conséquent, l'objectif de 80 % de contrats d'embauche en CDI n'est pas atteint.

   Je suppose qu'une réponse acceptée serait :

   • $\mathrm{0,748}\notin \left[\mathrm{0,762};\mathrm{0,838}\right]$, au risque d'erreur de 5 % le site A ne respecte pas la proportion de 80 % de contrats d'embauche en CDI.
   • $\mathrm{0,765}\in \left[\mathrm{0,705};\mathrm{0,895}\right]$, l'hypothèse de 80 % de contrats d'embauche en CDI est respectée dans le site B.

partie b

Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque $n⩾30$, $np⩾5$ et $n\left(1-p\right)⩾5$, où p désigne la proportion dans une population, et n désigne la taille d'un échantillon de cette population.
La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

1. S'il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer.

   $np=50\times \mathrm{0,07}=\mathrm{3,5}$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique ne sont pas réunies.

   ---

2. S'il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ? Expliquer.

   $n=100$, $np=100\times \mathrm{0,07}=7$ et $n\left(1-p\right)=100\times \mathrm{0,93}=93$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   ---

3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100, dans lequel 9 composants électroniques s'avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ?

   Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,07}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,07}\times \mathrm{0,93}}{100}}};\mathrm{0,07}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,07}\times \mathrm{0,93}}{100}}}\right]\end{array}$$

   Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % relatifs à un échantillon de taille $n=100$ est $I=\left[\mathrm{0,02};\mathrm{0,12}\right]$.

   La fréquence de composants défectueux dans l'échantillon est 0,09 et, $\mathrm{0,09}\in \left[\mathrm{0,02};\mathrm{0,12}\right]$, donc l'hypothèse de 7 % de composants défectueux tolérés est validée.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.