sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par $f\left(x\right)=x^2-14x+15+20\ln x$.

1. Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[1;10\right]$ on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-14x+20}{x}}$.

   f est dérivable comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;10\right]$, $$f\prime \left(x\right)=2x-14+20\times {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{2x^2-14x+20}{x}}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;10\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-14x+20}{x}}$.

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2. Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;10\right]$.

   Sur l'intervalle $\left[1;10\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $2x^2-14x+20$ avec $a=2$, $b=-14$ et $c=20$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=196-4\times 2\times 20=36\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{14-6}{4}}=2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{14+6}{4}}=5\end{array}$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

   x	1		2		5		10
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	2		$20\ln \left(2\right)-9$		$20\ln \left(5\right)-30$		$20\ln \left(10\right)-25$

3. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=3$ dans l'intervalle $\left[1;10\right]$.

   $f\left(2\right)=20\ln \left(2\right)-9\approx \mathrm{4,86}$, $f\left(5\right)=20\ln \left(5\right)-30\approx \mathrm{2,19}$ et $f\left(10\right)=20\ln \left(10\right)-25\approx \mathrm{21,05}$. Par conséquent, sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une unique solution.

   L'équation $f\left(x\right)=3$ admet trois solutions.

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