On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle on a .
f est dérivable comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel x de l'intervalle ,
est la fonction définie sur l'intervalle par .
Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , est du même signe que le polynôme du second degré avec , et . Le discriminant du trinôme est d'où :
donc le trinôme a deux racines :
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :
x | 1 | 2 | 5 | 10 | |||
+ | − | + | |||||
2 |
En déduire le nombre de solutions de l'équation dans l'intervalle .
, et . Par conséquent, sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . l'équation admet une unique solution.
L'équation admet trois solutions.
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