Dans la commune de Girouette, deux partis s'affrontent aux élections tous les ans. En 2010, le parti Hirondelle l'a emporté avec 70 % des voix contre 30 % au parti Phénix.
On admet qu'à partir de l'année 2010 :
On considère un électeur de Girouette choisi au hasard. On note H l'état « L'électeur vote pour le parti Hirondelle » et P l' état « L'électeur vote pour le parti Phenix ».
Représenter le graphe probabiliste associé à cette situation.
À partir de l'année 2010 :
14 % des électeurs votant pour le parti Hirondelle à une élection voteront pour le parti Phénix à l'élection suivante d'où et .
6 % des électeurs votant pour le parti Phénix à une élection voteront pour le parti Hirondelle à l'élection suivante d'où et .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice de transition M en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
La matrice de transition M de ce graphe telle que est : .
On appelle la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année 2010 + n. On a donc .
Déterminer et . (On arrondira les coefficients de au centième). Interpréter les résultats.
. En 2011, le parti Hirondelle l'a emporté avec 62 % des voix contre 38 % au parti Phénix.
. En 2014, le parti Phénix l'a emporté avec 54 % des voix contre 46 % au parti Hirondelle.
Montrer que pour tout entier naturel n, on a .
Pour tout entier n,
Soit avec pour tout entier n, . D'où
Ainsi, pour tout entier n, .
On définit la suite par : pour tout entier naturel n, . Montrer que la suite est une suite géométrique.
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 0,8.
Montrer que pour tout entier naturel n, .
d'où .
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, .
Comme pour tout entier naturel n, , on en déduit :
Pour tout entier naturel n, .
À partir de combien d'années la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera-t-elle strictement inférieure à 0,32 ?
Le nombre d'années est le plus petit entier n tel que . Soit
Comme , le plus petit entier n tel que est 14.
Selon ce modèle, à partir de 14 ans la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera strictement inférieure à 0,32.
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