Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2013

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans la commune de Girouette, deux partis s'affrontent aux élections tous les ans. En 2010, le parti Hirondelle l'a emporté avec 70 % des voix contre 30 % au parti Phénix.
On admet qu'à partir de l'année 2010 :

14 % des électeurs votant pour le parti Hirondelle à une élection voteront pour le parti Phénix à l'élection suivante.
6 % des électeurs votant pour le parti Phénix à une élection voteront pour le parti Hirondelle à l'élection suivante.
Les autres ne changent pas d'avis.

On considère un électeur de Girouette choisi au hasard. On note H l'état « L'électeur vote pour le parti Hirondelle » et P l' état « L'électeur vote pour le parti Phenix ».

1. Représenter le graphe probabiliste associé à cette situation.
  À partir de l'année 2010 :
  - 14 % des électeurs votant pour le parti Hirondelle à une élection voteront pour le parti Phénix à l'élection suivante d'où $p_{H_{n}} (P_{n + 1}) = 0,14$ et $p_{H_{n}} (H_{n + 1}) = 0,86$ .
  - 6 % des électeurs votant pour le parti Phénix à une élection voteront pour le parti Hirondelle à l'élection suivante d'où $p_{P_{n}} (H_{n + 1}) = 0,06$ et $p_{P_{n}} (P_{n + 1}) = 0,94$ .
  D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
2. Déterminer la matrice de transition M en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
  La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} h_{n + 1} & p_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} h_{n} & p_{n} \end{matrix}) \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94 \end{matrix})$ .
On appelle $E_{n} = (\begin{matrix} h_{n} & p_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année 2010 + n. On a donc $E_{0} = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \end{matrix})$ .
Déterminer $E_{1}$ et $E_{4}$ . (On arrondira les coefficients de $E_{4}$ au centième). Interpréter les résultats.
$\begin{matrix} E_{1} = E_{0} \times M & Soit & E_{1} = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & E_{1} = (\begin{matrix} 0,62 & 0,38 \end{matrix}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} E_{4} = E_{0} \times M^{4} & Soit & E_{4} = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94 \end{matrix})}^{4} & d'où & E_{4} = (\begin{matrix} 0,46 & 0,54 \end{matrix}) \end{matrix}$
$E_{1} = (\begin{matrix} 0,62 & 0,38 \end{matrix})$ . En 2011, le parti Hirondelle l'a emporté avec 62 % des voix contre 38 % au parti Phénix.
$E_{4} = (\begin{matrix} 0,46 & 0,54 \end{matrix})$ . En 2014, le parti Phénix l'a emporté avec 54 % des voix contre 46 % au parti Hirondelle.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a $h_{n + 1} = 0,8 h_{n} + 0,06$ .
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} E_{n + 1} = E_{n} \times M & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} h_{n + 1} & p_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} h_{n} & p_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & (\begin{matrix} h_{n + 1} & p_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,86 h_{n} + 0,06 p_{n} & 0,14 h_{n} + 0,94 p_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
  Soit $h_{n + 1} = 0,86 h_{n} + 0,06 p_{n}$ avec pour tout entier n, $h_{n} + p_{n} = 1$ . D'où $h_{n + 1} = 0,86 h_{n} + 0,06 \times (1 - h_{n}) = 0,8 h_{n} + 0,06$
  Ainsi, pour tout entier n, $h_{n + 1} = 0,8 h_{n} + 0,06$ .
2. On définit la suite $(u_{n})$ par : pour tout entier naturel n, $u_{n} = h_{n} - 0,3$ . Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique.
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} u_{n + 1} = h_{n + 1} - 0,3 & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 h_{n} + 0,06 - 0,3 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 h_{n} - 0,24 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 \times (h_{n} - 0,3) \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 u_{n} \end{matrix}$
  Pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8.
3. Montrer que pour tout entier naturel n, $h_{n} = 0,3 + 0,4 \times {0,8}^{n}$ .
  $u_{0} = h_{0} - 0,3$ d'où $u_{0} = 0,7 - 0,3 = 0,4$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $u_{0} = 0,4$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,4 \times {0,8}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = h_{n} - 0,3 \Leftrightarrow h_{n} = u_{n} + 0,3$ , on en déduit :
  Pour tout entier naturel n, $h_{n} = 0,3 + 0,4 \times {0,8}^{n}$ .
À partir de combien d'années la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera-t-elle strictement inférieure à 0,32 ?
Le nombre d'années est le plus petit entier n tel que $h_{n} < 0,32$ . Soit $\begin{matrix} 0,3 + 0,4 \times {0,8}^{n} < 0,32 & \Leftrightarrow & 0,4 \times {0,8}^{n} < 0,02 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < 0,05 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) < \ln 0,05 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,8 < \ln 0,05 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,05}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{matrix}$
Comme $\frac{\ln 0,05}{\ln 0,8} \approx 13,4$ , le plus petit entier n tel que $0,3 + 0,4 \times {0,8}^{n} < 0,32$ est 14.
Selon ce modèle, à partir de 14 ans la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera strictement inférieure à 0,32.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.