sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2013

correction de l'exercice 5 : commun à tous les candidats

Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au dix millième, ou sous forme de pourcentage arrondis à 0,01 %.

1. Le lendemain d'une épreuve de mathématiques au baccalauréat, on corrige un échantillon de 160 copies choisies au hasard parmi l'ensemble des copies et on a observe que 78 copies ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

   1. Déterminer la proportion des copies de l'échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10.

      $$f={\displaystyle \frac{78}{160}}=\mathrm{0,4875}$$

      48,75 % des copies de l'échantillon ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

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   2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies.

      $n=160$ et $f=\mathrm{0,4875}$, $nf>5$ et $n\left(1-f\right)>5$. Un intervalle de confiance de la proportion p des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies au niveau de confiance 0,95 est : $$\left[\mathrm{0,4875}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{160}}};\mathrm{0,4875}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{160}}}\right]$$

      Soit en arrondissant au dix millième, un intervalle de confiance de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 dans l'ensemble des copies au niveau de confiance 0,95 est $\left[\mathrm{0,4084};\mathrm{0,5666}\right]$.

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   3. Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % d'amplitude inférieure à 0,04 ?

      L'amplitude d'un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % pour un échantillon de taille n est égale à ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$. Pour obtenir un précision inférieure à 0,04, n est solution :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,04}& \iff & n=2500\end{array}$$

      Il faut prélever 2500 copies pour obtenir une estimation de la proportion des copies qui obtiendront une note supérieure ou égale à 10 avec une précision inférieure à 0,04.

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2. À l'issue du premier groupe d'épreuves on désigne par X la variable aléatoire qui, à un candidat choisi au hasard parmi l'ensemble des candidats, associe sa moyenne générale.
   Un correcteur propose de considérer que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 10,5 et d'écart-type 2.

   1. Si ce correcteur a raison, quel intervalle centré en 10,5 devrait contenir 95 % des moyennes des candidats ?

      Si la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne $\mu =\mathrm{10,5}$ et d'écart-type $\sigma =2$ alors $$\begin{array}{ccc}P\left\{X\in \left[\mathrm{10,5}-\mathrm{1,96}\times 2;\mathrm{10,5}+\mathrm{1,96}\times 2\right]\right\}\approx \mathrm{0,95}& \iff & P\left(X\in \left[\mathrm{6,58};\mathrm{14,42}\right]\right)\approx \mathrm{0,95}\end{array}$$

      Si ce correcteur a raison,l'intervalle $\left[\mathrm{6,58};\mathrm{14,42}\right]$ devrait contenir 95 % des moyennes des candidats.

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   2. À l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe, calculer $P\left(X>12\right)$.

      • à l'aide de la calculatrice

        La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale de moyenne 10,5 et d'écart type 2 : $$\begin{array}{ccc}P\left(X>12\right)& =& P\left(X⩾\mathrm{10,5}\right)-P\left(\mathrm{10,5}⩽X⩽12\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(\mathrm{10,5}⩽X⩽12\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,2266}\hfill \end{array}$$

        $P\left(X>12\right)\approx \mathrm{0,2266}$.

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      • à l'aide de la table

        ANNEXE 1

        Extrait de la table de la loi normale pour $\mu =\mathrm{10,5}$ et $\sigma =2$.

        t	$$p\left(X⩽t\right)$$	t	$$p\left(X⩽t\right)$$	t	$$p\left(X⩽t\right)$$
        10	0,4013	11	0,5987	12	0,7734
        10,1	0,4207	11,1	0,6179	12,1	0,7881
        10,2	0,4404	11,2	0,6368	12,2	0,8023
        10,3	0,4602	11,3	0,6554	12,3	0,8159
        10,4	0,4801	11,4	0,6736	12,4	0,8289
        10,5	0,5000	11,5	0,6915	12,5	0,8413
        10,6	0,5199	11,6	0,7088	12,6	0,8531
        10,7	0,5398	11,7	0,7257	12,7	0,8643
        10,8	0,5596	11,8	0,7422	12,8	0,8749
        10,9	0,5793	11,9	0,7580	12,9	0,8849

        $$\begin{array}{ccc}P\left(X>12\right)& =& 1-P\left(X⩽12\right)\hfill \\ & =& 1-\mathrm{0,7734}\hfill \\ & =& \mathrm{0,2266}\hfill \end{array}$$

        $P\left(X>12\right)=\mathrm{0,2266}$.

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   3. Lors des délibérations de jury à l'issue du premier groupe d'épreuves, les candidats ayant obtenu une moyenne supérieure ou égale à 10 sont déclarés admis.
      Il est aussi d'usage, par exemple, lorsqu'un candidat a obtenu une moyenne inférieure mais très proche de 10 et lorsque le dossier de ce candidat met en avant la qualité de son travail au cours de l'année, de le déclarer admis et de porter à 10 sa moyenne.
      Le graphique figurant en annexe 2 permet de visualiser les notes moyennes d'environ 330 000 candidats à l'issue des délibérations des jurys du premier groupe d'épreuves du baccalauréat 2001.
      Commenter la forme du graphique et ses éventuelles irrégularités.

      ANNEXE 2

      (Source: Direction de la Programmation et du Développement, Ministère de la Jeunesse de l'Education nationale et de la Recherche, 2002)

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      L'histogramme a l'allure générale d'une distribution gaussienne (courbe en cloche), avec des irrégularités dans les tranches de demi-point juste avant les seuils de 8, 10, 12, 14 et 16 qui déterminent l'admission au second groupe d'épreuves, ou la réussite dès le premier groupe avec ou sans mention.
      Ces irrégularités peuvent correspondre aux cas où des révisions de notes ont permis le passage du seuil au cours des délibérations des jurys, pour les candidats qui, lorsque le dossier met en avant la qualité du travail au cours de l'année, étaient proches du seuil.

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