Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2013

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d'épargne sur lequel elle dépose 6000 euros.
Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu'à atteindre le plafond autorisé de 19125 euros.
On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.

première partie

  1. Calculer le montant des intérêts pour l'année 2014 et montrer que Monica disposera d'un montant de 7035 euros sur son livret le premier janvier 2015.

    • Le montant en euros des intérêts pour l'année 2014 est de : 6000×0,0225=135

    • Après un versement de 900 euros, Monica disposera d'un montant en euros de : 6000+135+900=7035

    Le montant des intérêts pour l'année 2014 est de 135 euros. Après un versement de 900 euros, Monica disposera d'un montant de 7035 euros sur son livret le premier janvier 2015.


  2. On note Mn le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année 2014 + n. On a donc M0=6 000 et M1=7 035.
    Montrer que pour tout entier naturel n, Mn+1=1,0225Mn+900.

    Soit Mn le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année 2014 + n. Pour tout entier naturel n, Mn+1=Mn×(1+2,25100)+900=1,0225Mn+900.

    Ainsi, pour tout entier naturel n, Mn+1=1,0225Mn+900.


deuxième partie

Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros.

  1. Première méthode :

    On considère la suite (Gn) définie pour tout entier naturel n, par Gn=Mn+40 000.

    1. Montrer que la suite (Gn) est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier terme.

      Pour tout entier n, Gn+1=Mn+1+40000=1,0225Mn+900+40000=1,0225Mn+40900=1,0225×(Mn+40000)=1,0225Gn

      Pour tout entier n, Gn+1=1,0225Gn donc (Gn) est une suite géométrique de raison 1,0225.

      G0=M0+40 000 d'où G0=46000

      (Gn) est une suite géométrique de raison 1,0225 et de premier terme G0=46000.


    2. Donner l'expression de Gn en fonction de n.
      En déduire que, pour tout entier naturel n, Mn=46 000×1,0225n-40 000.

      (Gn) est une suite géométrique de raison 1,0225 et de premier terme G0=46000 donc pour tout entier n, Gn=46000×1,0225n. D'autre part, pour tout entier n, Gn=Mn+40000 d'où Mn=Gn-40000.

      Donc pour tout entier n, Mn=46000×1,0225n-40000.


    3. Déduire de l'expression de Mn obtenue en b. l'année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros sera atteint.

      On cherche le plus petit entier n tel que Mn>19125. Soit 46000×1,0225n-40000>1912546000×1,0225n>591251,0225n>5912546000ln(1,0225n)>ln(5912540000)La fonction logarithme est croissantenln1,0225>ln(5912540000)Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln(5912540000)ln1,0225

      Or ln(5912540000)ln1,022511,3 par conséquent, le plus petit entier n pour lequel Gn>19125 est 12.

      Le plafond de 19 125 euros sera atteint pendant l'année 2026.


  2. Deuxième méthode :

    L'algorithme ci-dessous permet de déterminer l'année à partir de laquelle le plafond sera atteint.

    LIGNE
    1Variables :MONTANT est un réel
    2ANNÉE est un entier
    3
    4Initialisation :Affecter à MONTANT la valeur 6000
    5Affecter à ANNÉE la valeur 2014
    6
    7Traitement :Tant que MONTANT < 19125
    8Affecter à MONTANT la valeur 1,0225 × MONTANT + 900
    9Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + 1
    10
    11Sortie :Afficher « Le plafond du livret sera atteint en … »
    12Afficher ANNÉE
    1. Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu'il détermine l'année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels de 1 000 euros.
      Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.

      Les lignes 4 et 8 doivent être modifiées de la façon suivante :

      • Ligne 4 : Affecter à MONTANT la valeur 5000
      • Ligne 8 : Affecter à MONTANT la valeur 1,0225 × MONTANT + 1000

    2. Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l'algorithme affiche également à l'écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.

      LIGNE
      1Variables :MONTANT est un réel
      2ANNÉE est un entier
      3
      4Initialisation :Affecter à MONTANT la valeur 6000
      5Affecter à ANNÉE la valeur 2014
      6
      7Traitement :Tant que MONTANT < 19125
      8Affecter à MONTANT la valeur 1,0225 × MONTANT + 900
      9Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + 1
      10Afficher MONTANT + « euros disponible au 1er janvier » + ANNÉE
      11Fin du Tant que
      12Sortie :Afficher « Le plafond du livret sera atteint en … »
      13Afficher ANNÉE

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