Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d'épargne sur lequel elle dépose 6000 euros.
Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu'à atteindre le plafond autorisé de 19125 euros.
On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.
Calculer le montant des intérêts pour l'année 2014 et montrer que Monica disposera d'un montant de 7035 euros sur son livret le premier janvier 2015.
Le montant en euros des intérêts pour l'année 2014 est de :
Après un versement de 900 euros, Monica disposera d'un montant en euros de :
Le montant des intérêts pour l'année 2014 est de 135 euros. Après un versement de 900 euros, Monica disposera d'un montant de 7035 euros sur son livret le premier janvier 2015.
On note le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année 2014 + n. On a donc et .
Montrer que pour tout entier naturel n, .
Soit le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année 2014 + n. Pour tout entier naturel n, .
Ainsi, pour tout entier naturel n, .
Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros.
Première méthode :
On considère la suite définie pour tout entier naturel n, par .
Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier terme.
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 1,0225.
d'où
est une suite géométrique de raison 1,0225 et de premier terme .
Donner l'expression de en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, .
est une suite géométrique de raison 1,0225 et de premier terme donc pour tout entier n, . D'autre part, pour tout entier n, d'où .
Donc pour tout entier n, .
Déduire de l'expression de obtenue en b. l'année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros sera atteint.
On cherche le plus petit entier n tel que . Soit
Or par conséquent, le plus petit entier n pour lequel est 12.
Le plafond de 19 125 euros sera atteint pendant l'année 2026.
Deuxième méthode :
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer l'année à partir de laquelle le plafond sera atteint.
LIGNE | ||
1 | Variables : | MONTANT est un réel |
2 | ANNÉE est un entier | |
3 | ||
4 | Initialisation : | Affecter à MONTANT la valeur 6000 |
5 | Affecter à ANNÉE la valeur 2014 | |
6 | ||
7 | Traitement : | Tant que MONTANT < 19125 |
8 | Affecter à MONTANT la valeur 1,0225 × MONTANT + 900 | |
9 | Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + 1 | |
10 | ||
11 | Sortie : | Afficher « Le plafond du livret sera atteint en … » |
12 | Afficher ANNÉE |
Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu'il détermine l'année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels de 1 000 euros.
Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.
Les lignes 4 et 8 doivent être modifiées de la façon suivante :
Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l'algorithme affiche également à l'écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.
LIGNE | ||
1 | Variables : | MONTANT est un réel |
2 | ANNÉE est un entier | |
3 | ||
4 | Initialisation : | Affecter à MONTANT la valeur 6000 |
5 | Affecter à ANNÉE la valeur 2014 | |
6 | ||
7 | Traitement : | Tant que MONTANT < 19125 |
8 | Affecter à MONTANT la valeur 1,0225 × MONTANT + 900 | |
9 | Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + 1 | |
10 | Afficher MONTANT + « euros disponible au 1er janvier » + ANNÉE | |
11 | Fin du Tant que | |
12 | Sortie : | Afficher « Le plafond du livret sera atteint en … » |
13 | Afficher ANNÉE |
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