Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On interroge des français de plus de 15 ans sur le nombre de langues étrangères qu'ils parlent « bien », c'est-à-dire qu'ils parlent suffisamment bien pour participer à une conversation.
À l'issue du sondage, on observe que l'échantillon des personnes interrogées est partagé en trois catégories :

  • 44 % des personnes interrogées ne parlent « bien » aucune langue étrangère.
  • 28 % des personnes interrogées parlent « bien » une langue étrangère.
  • 28 % des personnes interrogées parlent « bien » deux ou plus de deux langues étrangères.
    d'après EUROBAROMÈTRE 64.3 Commission Européenne 2005

Ces trois catégories seront désignées dans la suite du problème respectivement par L0, L1 et L2+.

  • 56 % des personnes de la catégorie L1 citent l'anglais comme la langue étrangère qu'elles parlent « bien ».
  • 73 % des personnes de la catégorie L2+ citent l'anglais parmi les langues étrangères qu'elles parlent « bien ».

On choisit de manière aléatoire une personne de cet échantillon. On note :

  • E0 l'évènement : « la personne ne parle bien aucune langue étrangère » ;
  • E1 l'évènement : « la personne parle bien une langue étrangère » ;
  • E2+ l'évènement : « la personne parle bien deux ou plus de deux langues étrangères » ;
  • A l'évènement : « la personne parle bien l'anglais » et A¯ l'évènement contraire de A.

Rappel des notations :
Si A et B sont deux évènements donnés, p(A) désigne la probabilité que l'évènement A se réalise et pB(A) désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé :

    • 56 % des personnes de la catégorie L1 citent l'anglais comme la langue étrangère qu'elles parlent « bien » d'où pE1(A)=0,56 et pE1(A¯)=1-pE1(A) soit pE1(A¯)=1-0,56=0,44.

    • 73 % des personnes de la catégorie L2+ citent l'anglais parmi les langues étrangères qu'elles parlent « bien » d'où pE2+(A)=0,73 et pE2+(A¯)=1-pE2+(A) soit pE2+(A¯)=1-0,73=0,27.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés, éventuellement arrondis, au dix millième.

  2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu'elle ne parle pas « bien » l'anglais.

    p(E1A¯)=pE1(A¯)×p(E1)=0,44×0,28=0,1232

    La probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu'elle ne parle pas « bien » l'anglais est égale à 0,1232.


  3. Calculer la probabilité que la personne choisie ne parle pas « bien » l'anglais.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(A¯)=p(A¯E0)+p(A¯E1)+p(A¯E2+)

    Or p(A¯E0)=pE0(A¯)×p(E0)etp(A¯E2+)=pE2+(A¯)×p(E2+)=1×0,44=0,27×0,28=0,44=0,0756

    D'où p(A¯)=0,44+0,1232+0,0756=0,6388

    La probabilité que la personne choisie ne parle pas « bien » l'anglais est égale à 0,6388.


  4. Calculer la probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu'elle parle « bien » l'anglais.

    pA(E2+)=p(E2+A)p(A)

    Or p(A)=1-p(A¯)etp(E2+A)=pE2+(A)×p(E2+)=1-0,6388=0,56×0,28=0,3612=0,1568

    D'où pA(E2+)=0,15680,36120,4341

    La probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu'elle parle « bien » l'anglais est égale à 0,4341.



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