On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.
Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
De plus, chaque année, 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.
On appelle n le nombre d'années d'existence du club.
On note la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année n et la proportion de la population qui n'est pas inscrite.
La première année de fonctionnement du club (année « zéro »), 20 % des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc .
Soit n un entier naturel. Que vaut la somme ?
( 100 % de la population )
Justifier que, pour tout entier naturel n, .
Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club et 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent. Donc :
pour tout entier naturel n,
En déduire que, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, et d'où
Ainsi, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, on pose .
Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 0,2. D'autre part, d'où
est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme .
Déterminer le sens de variation de la suite .
est une suite géométrique dont la raison 0,2 est comprise entre 0 et 1 donc la suite est strictement décroissante.
Montrer que pour tout entier n, .
Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique évolue-t-elle au cours des années ?
est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme donc pour tout entier n, .
D'autre part, pour tout entier naturel n, d'où :
Pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n,
Comme la suite est strictement décroissante, alors pour tout entier naturel n, donc la suite est strictement décroissante.
Par conséquent, le pourcentage des habitants de la ville inscrits au club de gymnastique va diminuer au cour des années.
donc d'où, . Soit . La suite converge vers 0,125.
Au cour des années, le pourcentage des habitants de la ville inscrits au club de gymnastique va diminuer pour se stabiliser à environ 12,5 % de la population.
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