Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.

Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
De plus, chaque année, 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.

On appelle n le nombre d'années d'existence du club.
On note gn la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année n et pn la proportion de la population qui n'est pas inscrite.
La première année de fonctionnement du club (année « zéro »), 20 % des habitants de la ville se sont inscrits. On a donc g0=0,2.

  1. Soit n un entier naturel. Que vaut la somme gn+pn ?

    gn+pn=1 ( 100 % de la population )


    1. Justifier que, pour tout entier naturel n, gn+1=0,3gn+0,1pn.

      Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club et 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent. Donc :

      pour tout entier naturel n, gn+1=0,3gn+0,1pn


    2. En déduire que, pour tout entier naturel n, gn+1=0,2gn+0,1.

      Pour tout entier naturel n, gn+pn=1 et gn+1=0,3gn+0,1pn d'où gn+1=0,3gn+0,1×1-gn=0,2gn+0,1

      Ainsi, pour tout entier naturel n, gn+1=0,2gn+0,1.


  2. Pour tout entier naturel n, on pose un=gn-0,125.
    Montrer que la suite un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    Pour tout entier n, un+1=gn+1-0,125=0,2gn+0,1-0,125=0,2gn-0,025=0,2×gn-0,125=0,2un

    Pour tout entier n, un+1=0,2un donc un est une suite géométrique de raison 0,2. D'autre part, u0=g0-0,125 d'où u0=0,2-0,125=0,075

    un est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme u0=0,075.


  3. Déterminer le sens de variation de la suite un.

    un est une suite géométrique dont la raison 0,2 est comprise entre 0 et 1 donc la suite un est strictement décroissante.


  4. Montrer que pour tout entier n, gn=0,125+0,075×0,2n.
    Comment la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique évolue-t-elle au cours des années ?

    • un est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme u0=0,075 donc pour tout entier n, un=0,075×0,2n.

      D'autre part, pour tout entier naturel n, un=gn-0,125gn=un+0,125 d'où :

      Pour tout entier naturel n, gn=0,125+0,075×0,2n.


    • Pour tout entier naturel n, gn+1-gn=un+1+0,125-un+0,125=un+1-un

      Comme la suite un est strictement décroissante, alors pour tout entier naturel n, gn+1-gn<0 donc la suite gn est strictement décroissante.
      Par conséquent, le pourcentage des habitants de la ville inscrits au club de gymnastique va diminuer au cour des années.

      0<0,2<1 donc limn+0,2n=0 d'où, limn+0,125+0,075×0,2n=0,125. Soit limn+gn=0,125. La suite gn converge vers 0,125.

    Au cour des années, le pourcentage des habitants de la ville inscrits au club de gymnastique va diminuer pour se stabiliser à environ 12,5 % de la population.



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