Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. La fonction G définie sur l'intervalle ]0;+[ par G(x)=xlnx-x+10 est une primitive de la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+[ par g(x)=lnx.

    Dire que G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle ]0;+[ signifie que, pour tout réel x strictement positif,, G(x)=g(x).

    G est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle ]0;+[. Pour tout réel x]0;+[, G(x)=(1×lnx+x×1x)-1=lnx

    Pour tout réel x strictement positif, G(x)=g(x) donc G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle ]0;+[ donc l'affirmation (1) est vraie.


  2. On a l'égalité : 01(x2+1)dx=13.

    Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2+1 est la fonction F définie par F(x)=x33+x. Par conséquent, 01(x2+1)dx=[x33+x]01=(13+1)-(0)=43

    Ainsi, 01(x2+1)dx=43 donc l'affirmation (2) est fausse.


  3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0;1]. On a alors : E(X)=1.

    L'espérance de la loi uniforme sur [a;b] est E(X)=abxb-adx=a+b2

    Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0;1] alors E(X)=12 donc l'affirmation (3) est fausse.


  4. Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est p=0,51.
    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est (en arrondissant les bornes à 0,001 près) : [0,412;0,608].

    n=100, np=51 et n(1-p)=49. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : I=[0,51-1,96×0,51×0,49100;0,51+1,96×0,51×0,49100]

    Soit en arrondissant à 10-3 près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est [0,412;0,608] donc l'affirmation (4) est vraie.



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