Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
La fonction G définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction g définie sur l'intervalle par .
Dire que G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle signifie que, pour tout réel x strictement positif,, .
G est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle . Pour tout réel ,
Pour tout réel x strictement positif, donc G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle donc l'affirmation (1) est vraie.
On a l'égalité : .
Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x par est la fonction F définie par . Par conséquent,
Ainsi, donc l'affirmation (2) est fausse.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle . On a alors : .
L'espérance de la loi uniforme sur est
Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle alors donc l'affirmation (3) est fausse.
Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est .
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est (en arrondissant les bornes à 0,001 près) : .
, et . Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :
Soit en arrondissant à près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est donc l'affirmation (4) est vraie.
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