Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. La fonction G définie sur l'intervalle 0+ par Gx=xlnx-x+10 est une primitive de la fonction g définie sur l'intervalle 0+ par gx=lnx.

    Dire que G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle 0+ signifie que, pour tout réel x strictement positif,, Gx=gx.

    G est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle 0+. Pour tout réel x0+, Gx=1×lnx+x×1x-1=lnx

    Pour tout réel x strictement positif, Gx=gx donc G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle 0+ donc l'affirmation (1) est vraie.


  2. On a l'égalité : 01x2+1dx=13.

    Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x par fx=x2+1 est la fonction F définie par Fx=x33+x. Par conséquent, 01x2+1dx=x33+x01=13+1-0=43

    Ainsi, 01x2+1dx=43 donc l'affirmation (2) est fausse.


  3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle 01. On a alors : EX=1.

    L'espérance de la loi uniforme sur ab est EX=abxb-adx=a+b2

    Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle 01 alors EX=12 donc l'affirmation (3) est fausse.


  4. Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est p=0,51.
    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est (en arrondissant les bornes à 0,001 près) : 0,4120,608.

    n=100, np=51 et n1-p=49. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : I=0,51-1,96×0,51×0,491000,51+1,96×0,51×0,49100

    Soit en arrondissant à 10-3 près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de garçons dans un échantillon de taille 100 est 0,4120,608 donc l'affirmation (4) est vraie.



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