On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.
Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
De plus, chaque année, 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.
On appelle n le nombre d'années d'existence du club.
On note la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année n et la proportion de la population qui n'est pas inscrite.
La première année de fonctionnement du club (année « zéro »), 20 % des habitants de la ville se sont inscrits.
On note la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année n. On a donc .
Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
Notons G l'état probabiliste « Une personne est inscrite au club de gymnastique » et P l'état probabiliste « Une personne n'est pas inscrite au club de gymnastique ». Chaque année :
30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club d'où et
10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent d'où et
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
On nomme A la matrice de transition associée à cette situation, c'est-à-dire la matrice vérifiant : pour tout entier naturel n, .
Donner la matrice A.
La matrice de transition A de ce graphe telle que pour tout entier naturel n, est : .
Déterminer et . Interpréter les résultats.
et . La deuxième année de fonctionnement du club, 14 % des habitants de la ville se sont inscrits et la troisième année de fonctionnement du club, 12,8 % des habitants de la ville se sont inscrits.
Déterminer l'état probabiliste stable (on donnera les coefficients de la matrice ligne sous la forme de fractions irréductibles).
Comment peut-on interpréter ce résultat ?
Les termes de la matrice de tansition A d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état converge vers un état stable vérifiant :
D'où g et p vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que g et p sont solutions du système :
L'état stable du système est . Sur le long terme, chaque année 12,5 % des habitants de la ville s'inscriront au club de gymnastique.
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