Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On a observé l'évolution des inscriptions dans le club de gymnastique d'une ville.

Chaque année, 30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club.
De plus, chaque année, 10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent.

On appelle n le nombre d'années d'existence du club.
On note gn la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique lors de l'année n et pn la proportion de la population qui n'est pas inscrite.
La première année de fonctionnement du club (année « zéro »), 20 % des habitants de la ville se sont inscrits.
On note En=gnpn la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année n. On a donc E0=0,20,8.

  1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

    Notons G l'état probabiliste « Une personne est inscrite au club de gymnastique » et P l'état probabiliste « Une personne n'est pas inscrite au club de gymnastique ». Chaque année :
    30 % des personnes inscrites au club de gymnastique l'année précédente renouvellent leur inscription au club d'où pGnGn+1=0,3 et pGnPn+1=0,7
    10 % des habitants de la ville qui n'étaient pas inscrits au club l'année précédente s'y inscrivent d'où pPnGn+1=0,1 et pPnPn+1=0,9

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On nomme A la matrice de transition associée à cette situation, c'est-à-dire la matrice vérifiant : pour tout entier naturel n, En+1=En×A.
    Donner la matrice A.

    La matrice de transition A de ce graphe telle que pour tout entier naturel n, En+1=En×A est : A=0,30,70,10,9.


  3. Déterminer E1 et E2. Interpréter les résultats.

    E1=0,20,8×0,30,70,10,9=0,140,86etE2=0,140,86×0,30,70,10,9=0,1280,872

    E1=0,140,86 et E2=0,1280,872. La deuxième année de fonctionnement du club, 14 % des habitants de la ville se sont inscrits et la troisième année de fonctionnement du club, 12,8 % des habitants de la ville se sont inscrits.


  4. Déterminer l'état probabiliste stable (on donnera les coefficients de la matrice ligne sous la forme de fractions irréductibles).
    Comment peut-on interpréter ce résultat ?

    Les termes de la matrice de tansition A d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état En converge vers un état stable E=gp vérifiant : gp=gp×0,30,70,10,9gp=0,3g+0,1p0,7g+0,9p

    D'où g et p vérifient la relation g=0,3g+0,1p. Comme d'autre part, g+p=1 on en déduit que g et p sont solutions du système :{g=0,3g+0,1pg+p=1{0,7g-0,1p=0g+p=1{0,8g=0,1g+p=1{g=0,125p=0,875

    L'état stable du système est E=0,1250,875. Sur le long terme, chaque année 12,5 % des habitants de la ville s'inscriront au club de gymnastique.



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