Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 25 par fx=3-xex+1, soit f sa fonction dérivée et soit f sa fonction dérivée seconde.

  1. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 25, fx=2-xex et fx=1-xex

    f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv+1 d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle 25, {ux=3-x;ux=-1vx=ex;vx=ex

    Soit pour tout réel x de l'intervalle 25, fx=-ex+3-x×ex=3-x-1×ex=2-xex

    De même, pour tout réel x de l'intervalle 25, fx=-ex+2-x×ex=1-xex

    Ainsi, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 25, fx=2-xex et fx=1-xex.


  2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 25.

    Pour tout réel x, ex>0 donc fx est du même signe que 2-x.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

    x25
    fx0||
    fx

    e2+1

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1-e5


  3. Justifier que l'équation fx=0 admet une unique solution α dans l'intervalle 25. Montrer que : 3<α<4.

    f2=e2+18,4 et f5=1-e5-295,8. Sur l'intervalle 02, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f5<0<f2 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab. : l'équation fx=0 admet une unique solution α25.
    D'autre part f3=1 et f4=1-e4-53,6 on en déduit que 3<α<4.

    L'équation fx=0 admet une unique solution 3<α<4.


    1. Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3. Montrer que T a pour équation y=-e3x+3e3+1

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 est :y=f3×x-3+f3

      Or f3=1 et f3=-e3 d'où :y=-e3×x-3+1y=-e3x+3e3+1

      La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 a pour équation y=-e3x+3e3+1.


    2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite T et de l'axe des abscisses.

      La droite T coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse x solution de l'équation :-e3x+3e3+1=0x=3e3+1e3=3+1e3

      La droite T coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées 3+1e30


    3. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 25 et en déduire la convexité ou la concavité de f sur cet intervalle.

      f est définie sur l'intervalle 25 par fx=1-xex. Pour tout réel x, ex>0 donc fx est du même signe que 1-x sur l'intervalle 25. Soit fx<0

      Sur l'intervalle 25, fx<0 donc f est concave sur cet intervalle.


    4. En déduire que : α<3+1e3. On a donc : 3<α<3+1e3<3,05.

      Sur l'intervalle 25, la fonction f est concave par conséquent, sa courbe représentative est située entièrement en dessous de la tangente T.

      Donc pour tout réel x de l'intervalle 25, fx-e3x+3e3+1. En particulier f3+1e30 et, comme f3=1 d'après le théorème de la valeur intermédiaire, nous pouvons en déduire que :

      3<α3+1e3. Soit 3<α<3,05.


  4. On considère l'algorithme suivant :

    Variables :

    a, b, m et r sont des nombres réels

    Initialisation :Affecter à a la valeur 3
    Affecter à b la valeur 3,05

    Entrée :

    Saisir r
    Traitement :TANT QUE b-a>r
    Affecter à m la valeur a+b2
    SI fm>0
    • ALORS Affecter à a la valeur m
    • SINON Affecter à b la valeur m
    FIN SI
    FIN TANT QUE
    Sortie :Afficher a
    Afficher b
    1. Faire fonctionner l'algorithme précédant avec r=0,01 en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de fm.

      b-ab-a>rmfmfm>0ab
      Initialisation33,05
      étape 10,05oui3,0250,485oui3,0253,05
      étape 20,025oui3,03750,218oui3,03753,05
      étape 30,0125oui3,043750,082oui3,043753,05
    2. Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de l'étape 3.

      Cet algorithme permet de déterminer un encadrement de la solution de l'équation fx=0 par dichotomie.

      Ainsi, à l'étape 3 nous avons 3,04375<α<3,05



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