sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[2;5\right]$ par $f\left(x\right)=\left(3-x\right){\mathrm{e}}^x+1$, soit $f\prime$ sa fonction dérivée et soit $f″$ sa fonction dérivée seconde.

1. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[2;5\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$ et $f″\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv+1$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;5\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3-x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;5\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^x+\left(3-x\right)\times {\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(3-x-1\right)\times {\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(2-x\right){\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

   De même, pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;5\right]$, $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^x+\left(2-x\right)\times {\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(1-x\right){\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[2;5\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$ et $f″\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$.

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2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;5\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(2-x\right)$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

   x	2		5
   $f\prime \left(x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	${\mathrm{e}}^2+1$		$1-{\mathrm{e}}^5$

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3. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[2;5\right]$. Montrer que : $3<\alpha <4$.

   $f\left(2\right)={\mathrm{e}}^2+1\approx \mathrm{8,4}$ et $f\left(5\right)=1-{\mathrm{e}}^5\approx -\mathrm{295,8}$. Sur l'intervalle $\left[2;5\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(5\right)<0<f\left(2\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. : l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[2;5\right]$.
   D'autre part $f\left(3\right)=1$ et $f\left(4\right)=1-{\mathrm{e}}^4\approx -\mathrm{53,6}$ on en déduit que $3<\alpha <4$.

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $3<\alpha <4$.

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4. 1. Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3. Montrer que T a pour équation $y=-{\mathrm{e}}^{3}x+3{\mathrm{e}}^3+1$

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 est :$$y=f\prime \left(3\right)\times \left(x-3\right)+f\left(3\right)$$

      Or $f\left(3\right)=1$ et $f\prime \left(3\right)=-{\mathrm{e}}^3$ d'où :$$\begin{array}{ccc}y=-{\mathrm{e}}^3\times \left(x-3\right)+1& \iff & y=-{\mathrm{e}}^{3}x+3{\mathrm{e}}^3+1\end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 a pour équation $y=-{\mathrm{e}}^{3}x+3{\mathrm{e}}^3+1$.

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   2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite T et de l'axe des abscisses.

      La droite T coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse x solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}-{\mathrm{e}}^{3}x+3{\mathrm{e}}^3+1=0& \iff & x={\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^3+1}{{\mathrm{e}}^3}}=3+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^3}}\end{array}$$

      La droite T coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(3+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^3}};0\right)$

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   3. Étudier le signe de $f″\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[2;5\right]$ et en déduire la convexité ou la concavité de f sur cet intervalle.

      $f″$ est définie sur l'intervalle $\left[2;5\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$. Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(1-x\right)$ sur l'intervalle $\left[2;5\right]$. Soit $f″\left(x\right)<0$

      Sur l'intervalle $\left[2;5\right]$, $f″\left(x\right)<0$ donc f est concave sur cet intervalle.

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   4. En déduire que : $\alpha <3+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^3}}$. On a donc : $3<\alpha <3+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^3}}<\mathrm{3,05}$.

      Sur l'intervalle $\left[2;5\right]$, la fonction f est concave par conséquent, sa courbe représentative est située entièrement en dessous de la tangente T.

      Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;5\right]$, $f\left(x\right)⩽-{\mathrm{e}}^{3}x+3{\mathrm{e}}^3+1$. En particulier $f\left(3+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^3}}\right)⩽0$ et, comme $f\left(3\right)=1$ d'après le théorème de la valeur intermédiaire, nous pouvons en déduire que :

      $3<\alpha ⩽3+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^3}}$. Soit $3<\alpha <\mathrm{3,05}$.

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5. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	a, b, m et r sont des nombres réels
   Initialisation :	Affecter à a la valeur 3
   	Affecter à b la valeur 3,05
   Entrée :	Saisir r
   Traitement :	TANT QUE $b-a>r$
   	Affecter à m la valeur ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ SI $f\left(m\right)>0$ ALORS Affecter à a la valeur m SINON Affecter à b la valeur m FIN SI
   	FIN TANT QUE
   Sortie :	Afficher a
   	Afficher b

   1. Faire fonctionner l'algorithme précédant avec $r=\mathrm{0,01}$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f\left(m\right)$.

      	$b-a$	$b-a>r$	m	$f\left(m\right)$	$f\left(m\right)>0$	a	b
      Initialisation						3	3,05
      étape 1	0,05	oui	3,025	0,485	oui	3,025	3,05
      étape 2	0,025	oui	3,0375	0,218	oui	3,0375	3,05
      étape 3	0,0125	oui	3,04375	0,082	oui	3,04375	3,05

   2. Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de l'étape 3.

      Cet algorithme permet de déterminer un encadrement de la solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ par dichotomie.

      Ainsi, à l'étape 3 nous avons $\mathrm{3,04375}<\alpha <\mathrm{3,05}$

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