Soit f la fonction définie sur l'intervalle par , soit sa fonction dérivée et soit sa fonction dérivée seconde.
Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle , et
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
De même, pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle , et .
Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle .
Pour tout réel x, donc est du même signe que .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :
x | 2 | 5 | |
− | |||
Justifier que l'équation admet une unique solution α dans l'intervalle . Montrer que : .
et . Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . : l'équation admet une unique solution .
D'autre part et on en déduit que .
L'équation admet une unique solution .
Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3. Montrer que T a pour équation
Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 est :
Or et d'où :
La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 a pour équation .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite T et de l'axe des abscisses.
La droite T coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse x solution de l'équation :
La droite T coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées
Étudier le signe de sur l'intervalle et en déduire la convexité ou la concavité de f sur cet intervalle.
est définie sur l'intervalle par . Pour tout réel x, donc est du même signe que sur l'intervalle . Soit
Sur l'intervalle , donc f est concave sur cet intervalle.
En déduire que : . On a donc : .
Sur l'intervalle , la fonction f est concave par conséquent, sa courbe représentative est située entièrement en dessous de la tangente T.
Donc pour tout réel x de l'intervalle , . En particulier et, comme d'après le théorème de la valeur intermédiaire, nous pouvons en déduire que :
. Soit .
On considère l'algorithme suivant :
Variables : | a, b, m et r sont des nombres réels |
Initialisation : | Affecter à a la valeur 3 |
Affecter à b la valeur 3,05 | |
Entrée : | Saisir r |
Traitement : | TANT QUE |
Affecter à m la valeur SI
| |
FIN TANT QUE | |
Sortie : | Afficher a |
Afficher b |
Faire fonctionner l'algorithme précédant avec en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de .
m | a | b | |||||
Initialisation | 3 | 3,05 | |||||
étape 1 | 0,05 | oui | 3,025 | 0,485 | oui | 3,025 | 3,05 |
étape 2 | 0,025 | oui | 3,0375 | 0,218 | oui | 3,0375 | 3,05 |
étape 3 | 0,0125 | oui | 3,04375 | 0,082 | oui | 3,04375 | 3,05 |
Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de l'étape 3.
Cet algorithme permet de déterminer un encadrement de la solution de l'équation par dichotomie.
Ainsi, à l'étape 3 nous avons
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