sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.

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On a tracé ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie sur $ℝ$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2.

1. Quelle est l'équation de la tangente à $C_f$ en A ?

   Les coordonnées du point A vérifient l'équation de la tangente en A à la courbe $C_f$. La droite d'équation $y=-\mathrm{e}x+2\mathrm{e}$ est la seule des quatre droites qui passe par le point de coordonnées $\left(2;0\right)$

   a.   $y=-\mathrm{e}x+2\mathrm{e}$

   b.   $y=3x+2\mathrm{e}$

   c.   $y=\mathrm{e}x+3\mathrm{e}$

   d.   $y=-5x+4\mathrm{e}$

2. La fonction f est :

   La courbe $C_f$ admet un point d'inflexion dans l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ donc les propositions a et b ne conviennent pas. D'autre part, sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, la courbe $C_f$ est située en dessous de chacune de ses tangentes. Donc la fonction f est concave sur $\left[0;2\right]$

   a.   concave sur $\left]-\infty ;0\right]$

   b.   convexe sur $\left]-\infty ;0\right]$

   c.   concave sur $\left[0;2\right]$

   d.   convexe sur $\left[0;2\right]$

3. La valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est :

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$ et les axes du repère. Or cette aire est comprise entre 3 et 8 unités d'aires.

   Or $50\mathrm{e}>100$,    $16\mathrm{e}-24\sqrt{\mathrm{e}}\approx \mathrm{3,92}$,    $\mathrm{0,1}\mathrm{e}<\mathrm{0,3}$    et    $-5\mathrm{e}-\sqrt{\mathrm{e}}<0$. Par conséquent, la proposition c est la seule qui puisse convenir.

   a.   $50\mathrm{e}$

   b.   $16\mathrm{e}-24\sqrt{\mathrm{e}}$

   c.   $\mathrm{0,1}\mathrm{e}$

   d.   $-5\mathrm{e}-\sqrt{\mathrm{e}}$

4. Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction f ?

   La fonction f admet un maximum pour $x=-2$. Donc la dérivée de la fonction f s'annule en changeant de signe pour $x=-2$.

   a.	b.
   c.	d.

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