sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. 1. Déterminer le pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme a% où a est un nombre entier.

      Le taux du pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{68\; 500}-7000}{7000}}\times 100\approx 879$$

      Entre les années 2000 et 2012 la production a augmenté d'environ 879 %.

      ---

   2. Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l'équation : $x^{12}=\mathrm{9,79}$. Interpréter ce nombre en termes de taux d'évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme b% où b est un nombre entier.

      Pour tout nombre réel x, strictement positif, $$\begin{array}{ccc}{x}^{12}=\mathrm{9,79}& \iff & x={\mathrm{9,79}}^{\frac{1}{12}}\hfill \\ & \text{Soit}& x\approx \mathrm{1,209}\hfill \end{array}$$

      Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 879 % est : $$1+{\displaystyle \frac{879}{100}}=\mathrm{9,79}$$

      Soit $x=1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution annuel moyen entre 2000 et 2012 alors, x est solution de l'équation : $x^{12}=\mathrm{9,79}$. d'après le résultat précédent, $$\begin{array}{ccc}1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{1,209}& \text{Soit}& t\approx 21\end{array}$$

      Entre les années 2000 et 2012 la production a augmenté d'environ 21 % par an.

      ---

2. L'entreprise fait appel à un cabinet d'experts pour modéliser l'évolution de la production de l'entreprise afin de faire une projection jusqu'en 2020. Le cabinet d'experts propose la fonction f définie sur l'intervalle $\left[2;20\right]$ par : $f\left(x\right)=27131\ln x+\mathrm{0,626}{x}^3$ où x représente le rang de l'année et $f\left(x\right)$ le nombre de tonnes produites.

   1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;20\right]$. Déterminer $f\prime \left(x\right)$ puis les variations de la fonction f sur $\left[2;20\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;20\right]$, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{27131}{x}}+3\times \mathrm{0,626}\times x^2={\displaystyle \frac{27131}{x}}+\mathrm{1,878}{x}^2$$

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée sur l'intervalle $\left[2;20\right]$.
      Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;20\right]$, ${\displaystyle \frac{27131}{x}}>0$ et $\mathrm{1,878}{x}^2>0$ par conséquent, $f\prime \left(x\right)>0$.
      Donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[2;20\right]$.

      Comme la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[2;20\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{27131}{x}}+\mathrm{1,878}{x}^2$, la fonction f est strictement croissante.

      ---

   2. À l'aide de cette modélisation, l'entreprise peut-elle dépasser une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avant l'année 2020 ? Justifier.

      La fonction f est strictement croissante donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;20\right]$, $f\left(x\right)⩽f\left(20\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}f\left(20\right)=27131\ln 20+\mathrm{0,626}\times 8000& \text{Soit}& f\left(20\right)\approx \mathrm{86285,2}\end{array}$$

      Selon ce modèle, l'entreprise ne dépassera pas une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avant l'année 2020.

      ---

3. Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.
   Soit X la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que X suit une loi normale de paramètres $\mu =500$ et $\sigma =2$.

   1. Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée.
      Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10^-4.

      La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale de moyenne 500 et d'écart type 2 : $$\begin{array}{ccc}P\left(X<496\right)& =& P\left(X⩽500\right)-P\left(496⩽X⩽500\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(496⩽X⩽500\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,0228}\hfill \end{array}$$

      La probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée est égale à 0,0228.

      ---

   2. L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg.
      Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10^-4.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(X>506\right)& =& P\left(X⩾500\right)-P\left(500⩽X⩽506\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(500⩽X⩽506\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,0013}\hfill \end{array}$$

      La probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise est égale à 0,0013.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.