sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à 81 751 602 habitants au premier janvier 2011.
De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population allemande à −0,22%. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.
Les résultats seront arrondis à l'unité

partie a

On saisit en entrée le nombre S = 81200000. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on en sortie ?

U	81751602	81571748	81392291	81213228	81034558
N	0	1	2	3	4
Test U > S	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	FAUX

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Si on saisit en entrée le nombre S = 81200000, le nombre obtenu en sortie est 4.

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partie b

On note $u_n$ l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2011 + n.

1. Déterminer $u_0$ et $u_1$.

   $u_0=81751602$ et $$u_1=81751602\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}}{100}}\right)\approx 81571748$$

   Ainsi, $u_0=81751602$ et $u_1\approx 81571748$

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2. 1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, de 1^er terme 81 751 602 et de raison 0,9978.

      Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution de −0,22% est : $$1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}}{100}}=\mathrm{0,9978}$$ D'où, pour tout entier n, $$u_{n+1}=\mathrm{0,9978}\times u_n$$

      Ainsi, $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, de 1^er terme 81 751 602 et de raison 0,9978.

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   2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, de 1^er terme 81 751 602 et de raison 0,9978. Donc pour tout entier n, $u_n=81751602\times {\mathrm{0,9978}}^n$.

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3. Si cette évolution de −0,22% se confirme :

   1. Quel serait l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2035 ?

      Le rang de l'année 2035 est 24 et $$u_{24}=81751602\times {\mathrm{0,9978}}^{24}\approx \mathrm{77\; 542\; 583}$$

      Au premier janvier 2035, la population de l'Allemagne s'éleverait à 77 542 583 habitants.

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   2. En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants ?

      D'après la partie A, c'est en 2015 que la population passera au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants.

      Justifions ce résultat :$$\begin{array}{cccc}81751602\times {\mathrm{0,9978}}^n<81200000& \iff & {\mathrm{0,9978}}^n<{\displaystyle \frac{81200000}{81751602}}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9978}}^n\right)<\ln \left({\displaystyle \frac{81200000}{81751602}}\right)\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,9978}<\ln \left({\displaystyle \frac{81200000}{81751602}}\right)\hfill & \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{81200000}{81751602}}\right)}{\ln \mathrm{0,9978}}}\hfill & \ln \mathrm{0,9978}<0\hfill \end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{81200000}{81751602}}\right)}{\ln \mathrm{0,9978}}}\approx \mathrm{3,07}$, le plus petit entier n tel que $81751602\times {\mathrm{0,9978}}^n<81200000$ est 4.

      Selon ce modèle, c'est en 2015 que la population de l'Allemagne passera au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants.

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partie c

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu'en 2011, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à 49 800 personnes.
On admet de plus que le taux d'évolution de −0,22% ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.

1. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)$ dont on précisera le premier terme $v_0$ ainsi qu'une relation entre $v_{n+1}$ et $v_n$.

   Notons $v_n$ l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2011 + n alors $v_0=81751602$ et pour tout entier n, $$v_{n+1}=\mathrm{0,9978}\times v_n+49800$$

   $\left(v_n\right)$ est la suite définie par $v_0=81751602$ et pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{0,9978}\times v_n+49800$.

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2. Calculer $v_1$ et $v_2$. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ?

   $$\begin{array}{ccc}{v}_1=\mathrm{0,9978}\times 81751602+49800\approx 81621548& \text{et}& v_2=\mathrm{0,9978}\times 81621548+49800\approx 81491781\end{array}$$

   Il semblerait que la population va décroître.

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(Données recueillies par l'Institut national d'études démographiques)

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