Baccalauréat septembre 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.

On a tracé ci-dessous la courbe représentative Cf d'une fonction f définie sur ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quelle est l'équation de la tangente à Cf en A ?

     a.   y=-ex+2e

     b.   y=3x+2e

     c.   y=ex+3e

     d.   y=-5x+4e

  2. La fonction f est :

     a.   concave sur -0

     b.   convexe sur -0

     c.   concave sur 02

     d.   convexe sur 02

  3. La valeur de 02fxdx est :

     a.   50e

     b.   16e-24e

     c.   0,1e

     d.   -5e-e

  4. Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction f ?

     a.  

    Courbe représentative d'une fonction : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     b.  

    Courbe représentative d'une fonction : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     c.  

    Courbe représentative d'une fonction : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     d.  

    Courbe représentative d'une fonction : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. Les sept balises notées B1 ; B2 ; … ; B7 sont représentées sur le graphe ci-dessous. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.

    2. Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins ? Justifier la réponse.

    3. Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?

  1. Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l'arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.
    Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme.

partie b

Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012.
En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme.

On note :

Pour tout entier n non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année 2011 + n est défini par la matrice ligne Pn=xnynxn désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année 2011 + n.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.

  3. En remarquant que P0=0,80,2, déterminer P1. Interpréter ce résultat.

  4. Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l'année 2000 et le tableau ci-dessous donne l'évolution de sa production.

Année2000200220042006200820102012
Rang de l'année 0 2 4 6 8 10 12
Production en tonnes 7 000 18 811 36 620 49 000 58 012 63 098 68 500
    1. Déterminer le pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme a% où a est un nombre entier.

    2. Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l'équation : x12=9,79. Interpréter ce nombre en termes de taux d'évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme b% où b est un nombre entier.

  1. L'entreprise fait appel à un cabinet d'experts pour modéliser l'évolution de la production de l'entreprise afin de faire une projection jusqu'en 2020. Le cabinet d'experts propose la fonction f définie sur l'intervalle 220 par : fx=27131lnx+0,626x3x représente le rang de l'année et fx le nombre de tonnes produites.

    1. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle 220. Déterminer fx puis les variations de la fonction f sur 220.

    2. À l'aide de cette modélisation, l'entreprise peut-elle dépasser une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avant l'année 2020 ? Justifier.

  2. Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.
    Soit X la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que X suit une loi normale de paramètres μ=500 et σ =2.

    1. Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée.
      Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10-4.

    2. L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg.
      Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10-4.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à 81 751 602 habitants au premier janvier 2011.
De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population allemande à −0,22%. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.
Les résultats seront arrondis à l'unité

partie a

On propose l'algorithme suivant :

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul S.

Traitement :

Affecter à U la valeur 81 751 602 {initialisation}
Affecter à N la valeur 0 {initialisation}

Tant que U > S

  • Affecter à U la valeur 0,9978 × U
  • Affecter à N la valeur N +1

Fin de Tant que

Sortie

Afficher N

On saisit en entrée le nombre S = 81200000. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on en sortie ?

U81 751 60281 571 748
N0
Test U > S Vrai

partie b

On note un l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2011 + n.

  1. Déterminer u0 et u1.

    1. Justifier que la suite un est une suite géométrique, de 1er terme 81 751 602 et de raison 0,9978.

    2. Exprimer un en fonction de n.

  2. Si cette évolution de −0,22% se confirme :

    1. Quel serait l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2035 ?

    2. En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants ?

partie c

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu'en 2011, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à 49 800 personnes.
On admet de plus que le taux d'évolution de −0,22% ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.

  1. Modéliser cette situation à l'aide d'une suite vn dont on précisera le premier terme v0 ainsi qu'une relation entre vn+1 et vn.

  2. Calculer v1 et v2. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ?

(Données recueillies par l'Institut national d'études démographiques)




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