Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2015

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

La courbe 𝒞 ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle 17.
La droite T est tangente à la courbe 𝒞 au point A33 et passe par le point de coordonnées 50.
Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe 𝒞.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f :

     a.   f3=3

     b.  f3=32

     c.   f3=-23

     d.   f3=-32

  2. On note f la fonction dérivée seconde de la fonction f :

     a.   f3=3

     b.  f3=0

     c.   f5=0

     d.  f2=0

  3. Toute primitive F de la fonction f est nécessairement :

     a.   croissante sur 17

     b.   décroissante sur 27

     c.   négative sur 27

     d.   positive sur 17

  4. On note I=23fxdx :

     a.   1I2

     b.   2I3

     c.   3I4

     d.   4I5


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Depuis le 1er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl'Aime est chargée de l'exploitation et de l'entretien du parc de vélos.
La commune disposait de 200 vélos au 1er janvier 2015.
La société estime que, chaque année, 15 % des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite unun représente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l'année 2015 + n.

  1. Déterminer le nombre de vélos au 1er janvier 2016.

  2. Justifier que la suite un est définie par u0=200 et, pour tout entier naturel n, par : un+1=0,85un+42

  3. On donne l'algorithme suivant :

    variables :

    N entier
    U réel

    initialisation :

    N prend la valeur 0
    U prend la valeur 200

    traitement :

    Tant que N<4
    U prend la valeur 0,85×U+42
    N prend la valeur N+1
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher U

    1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on à l'arrêt de l'algorithme ?

      U200
      N01234
      Condition N<4Vrai
    2. Interpréter la valeur du nombre U obtenue à l'issue de l'exécution de cet algorithme.

  4. On considère la suite vn définie pour tout entier n par vn=un-280.

    1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v0=-80.

    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un=-80×0,85n+280.

    4. Calculer la limite de la suite un et interpréter ce résultat.

  5. La société Bicycl'Aime facture chaque année à la commune 300 € par vélo en circulation au 1er janvier.
    Déterminer le coût total pour la période du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite un étant exprimé avec un nombre entier.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro londonien par un graphe Γ dont les sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desservant ces stations.
Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.

Graphe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Légende

  • B : Bond Street
  • E : Embankment
  • G : Green Park
  • H : Holborn
  • K : King's Cross St Pancras
  • O : Oxford Circus
  • P : Piccadilly Circus
  • W : Westminster
    1. Déterminer en justifiant si le graphe Γ est connexe.

    2. Déterminer en justifiant si le graphe Γ est complet.

  1. Déterminer, en justifiant, si le graphe Γ admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.

  2. Donner la matrice d'adjacence M du graphe Γ (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).

    Pour la suite de l'exercice, on donne la matrice M3=23642731301123646144491064144588322452731739878103361083104114631310.

  3. Un touriste se trouve à la station Holborn. Il prévoit de se rendre à la station Green Park en utilisant exactement trois lignes de métro sur son trajet.

    1. Sans utiliser le graphe, donner le nombre de trajets possibles et justifier la réponse.

    2. Donner les trajets possibles .

Graphe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Légende

  • B : Bond Street
  • E : Embankment
  • G : Green Park
  • H : Holborn
  • K : King's Cross St Pancras
  • O : Oxford Circus
  • P : Piccadilly Circus
  • W : Westminster

Sur le graphe pondéré ci-dessus, on a indiqué la durée, exprimée en minutes, des trajets entre chaque station (la durée est indiquée sur chaque arête du graphe Γ ).

  1. À partir de la station Westminster, ce touriste doit rejoindre la station King's Cross St Pancras le plus rapidement possible pour prendre un train.
    En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet permettant de relier la station Westminster à la station King's Cross St Pancras en une durée minimale. On précisera cette durée.


EXERCICE 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie a

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de confitures fait appel à des producteurs locaux. À la livraison, l'entreprise effectue un contrôle qualité à l'issue duquel les fruits sont sélectionnés ou non pour la préparation des confitures.
Une étude statistique a établi que :

On prélève au hasard un fruit et on note :

Pour tout évènement E, on note pE sa probabilité, pFE la probabilité de l'évènement E sachant que l'évènement F est réalisé et E¯ évènement contraire de E.

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

  2. Déterminer la probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu'il soit issu de l'agriculture biologique.

  3. Montrer que pS=0,911.

  4. Sachant que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures, déterminer la probabilité qu'il ne soit pas issu de l'agriculture biologique.

partie b

Cette entreprise conditionne la confiture en pots de 300 grammes.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture, associe sa masse en gramme.
On admet que X suit la loi normale d'espérance μ=300 et d'écart type σ=2.
L'entreprise ne commercialise les pots de confiture que si l'écart entre la masse affichée (c'est-à-dire 300 g) et la masse réelle ne dépasse pas 4 grammes.

  1. On prélève un pot au hasard. Déterminer la probabilité que le pot soit commercialisé.

  2. Déterminer le réel a tel que pX<a=0,01.

partie c

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Le directeur commercial affirme que 90 % des consommateurs sont satisfaits de la qualité des produits commercialisés par son entreprise.
On réalise une étude de satisfaction sur un échantillon de 130 personnes.
Parmi les personnes interrogées, 15 déclarent ne pas être satisfaites des produits.
Déterminer, en justifiant, si l'on doit remettre en question l'affirmation du directeur commercial.


exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B ne sont pas indépendantes.

partie a

On considère la fonction f définie sur 111 par fx=-0,5x2+2x+15lnx.

  1. Montrer que fx=-x2+2x+15xf désigne la fonction dérivée de la fonction f.

  2. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 111. On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.

    1. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur l'intervalle 111.

    2. Donner une valeur approchée de α à 0,01 près.

    3. Déterminer le signe de fx suivant les valeurs de x dans l'intervalle 111.

    1. On considère la fonction F définie sur 111 par Fx=-16x3+x2-15x+15xlnx. Montrer que F est une primitive de la fonction f.

    2. Calculer 111fxdx. On donnera le résultat exact puis sa valeur arrondie au centième.

    3. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 111. (On donnera la valeur arrondie au centième.)

partie b

Une société fabrique et vend des chaises de jardin. La capacité de production mensuelle est comprise entre 100 et 1 100 chaises. Le bénéfice mensuel réalisé par la société est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre de centaines de chaises de jardin produites et vendues et fx représente le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros.
On précise qu'un bénéfice peut être positif ou négatif, ce qui correspond, dans ce deuxième cas, à une perte.

  1. Quelles quantités de chaises la société doit-elle produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel positif ?

  2. Déterminer le nombre de chaises que la société doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel maximal.




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