Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie 2015

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Soit la fonction g définie pour tout nombre réel x strictement positif par gx=2e3x+12lnx.

    a. gx=2e3x+2x

    b. gx=6e3x+2x

    c. gx=6e3x+12x

    d. gx=6ex+12x

  2. La courbe représentative C d'une fonction f définie sur l'intervalle -24 est donnée ci-dessous. La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 traverse la courbe en ce point.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La fonction f est convexe sur l'intervalle :

    a. -14

    b. -20

    c. -2-1

    d. 04

  3. On donne l'algorithme ci-dessous.

    Variables

    n : un nombre entier naturel

    Traitement

    Affecter à n la valeur 0

    Tant que 1,9n<100
    Affecter à n la valeur n+1
    Fin Tant que

    Sortie

    Afficher n

    La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :

    a. 7,1

    b. 7,6

    c. 8

    d. 17

  4. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle 05 dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

    fonction de densité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On a alors :

    a. PX3=PX<3

    b. P1X4=13

    c. EX=52

    d. EX=15


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Sur une exploitation agricole, une maladie rend la conservation de fruits difficile. Un organisme de recherche en agronomie teste un traitement sur un champ : sur une partie du champ, les fruits sont traités, sur l'autre, non.
On considère que le nombre de fruits récoltés est extrêmement grand et que la maladie touche les fruits de manière aléatoire.

partie a Étude de l'efficacité du traitement

On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l'autre partie du champ. On constate que :

  1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de fruits abimés par la maladie au niveau de confiance de 95 % :

    1. pour la partie du champ traitée ;

    2. pour la partie du champ non traitée.

  2. Au vu des intervalles obtenus à la question 1, peut-on considérer que le traitement est efficace ?

partie b Qualité de la production

Une étude plus poussée permet d'estimer la proportion de fruits abimés à 0,12 dans la partie du champ traitée et à 0,30 dans la partie non traitée.
On sait de plus qu'un quart du champ a été traité.
Une fois récoltés, les fruits sont mélangés sans distinguer la partie du champ d'où ils proviennent.

On prélève au hasard un fruit récolté dans le champ et on note :

On arrondira les résultats au millième.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

    1. Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé.

    2. Montrer que PA=0,255.

  2. Un fruit prélevé au hasard dans la récolte est abimé, Peut-on affirmer qu'il y a une chance sur quatre pour qu'il provienne de la partie du champ traitée ?

  3. Dans le but d'effectuer un contrôle, cinq fruits sont prélevés au hasard dans le champ. Calculer la probabilité qu'au plus un fruit soit abimé.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par 3 postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d'heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

Tableau 1 Poste 1 Poste 2 Poste 3Tableau 2
Modèle 1 8 h 10 h 14 h Poste 1 25 € /h
Modèle 2 6 h 6 h 10 h Poste 2 20 € /h
Modèle 3 12 h 10 h 18 h Poste 3 15 € /h
  1. Soit H et C les deux : matrices suivantes : H=8101466101210 18 et C=252015.

    1. Donner la matrice produit P=H×C.

    2. Que représentent les coefficients de la matrice P=H×C ?

  2. Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants : Modèle 1 : 500 € ; Modèle 2 : 350 € ; Modèle 3 : 650 €.
    Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés a, b et c, permettant d'obtenir ces prix de revient.

    1. Montrer que les réels a, b et c doivent être solutions du système H×abc=500350650

    2. Déterminer les réels a, b et c.

partie b

La façade du magasin dans lequel sont commercialisées les planches est illuminée par un très grand nombre de spots qui sont programmés de la manière suivante :

On note : A l'état : « le spot est allumé » et E l'état : « le spot est éteint ».

    1. Dessiner un graphe probabiliste traduisant la situation.

    2. Recopier et compléter la matrice de transition (dans l'ordre A, E) associée au graphe, M=0,30,5.

  1. On note n le nombre d'étapes (c'est à dire d'intervalles de temps de 10 secondes) qui s'écoulent à partir de 22 heures et Pn=anbn l'état d'un spot à l'étape n, où an est la probabilité qu'il soit allumé et bn la probabilité qu'il soit éteint.
    On a alors, pour tout entier naturel n : Pn+1=Pn×M.

    1. Justifier que a0=1 et b0=0. Écrire une relation entre P0 et Pn.

    2. Déterminer les coefficients de la matrice P3. Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint à 22 heures et 30 secondes ?

  2. Déterminer l'état stable ab du graphe probabiliste.


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les techniciens d'un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d'un produit visant à améliorer la qualité de l'eau dans un bassin. La concentration recommandée du produit, exprimée en mg.l− 1 (milligramme par litre), doit être comprise entre 140 mg.l− 1 et 180 mg.l− 1.
Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg.l− 1.

On estime que la concentration du produit baisse d'environ 10 % par semaine. Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu'il déverse chaque semaine une certaine quantité de produit.
Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que :

partie a

Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l− 1.
On s'intéresse à l'évolution de la concentration chaque semaine. La situation peut être modélisée par une suite Cn, le terme Cn en donnant une estimation de la concentration du produit, en mg.l− 1, au début de la n-ième semaine. On a C0=160.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel n, Cn+1=0,9×Cn+10.

  2. Soit la suite Vn définie pour tout entier naturel n par : Vn=Cn-100.

    1. Montrer que la suite Vn est une suite géométrique de raison 0,9 et que V0=60.

    2. Exprimer Vn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, Cn=0,9n×60+100.

    1. Déterminer la limite de la suite Cn quand n tend vers l'infini. Justifier la réponse.
      Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée.

    2. Au bout de combien de semaines la concentration devient-elle inférieure à 140 mg.l− 1 ?

    3. Le réglage envisagé du distributeur répond-il aux attentes ?

partie b

Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 12 mg.l− 1.
Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens ?


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une compagnie aérienne propose à partir du premier janvier de l'année 2000 une nouvelle formule d'achat de billets, la formule Avantage qui s'ajoute à la formule Privilège déjà existante.
Une étude a permis de modéliser l'évolution du nombre de passagers transportés depuis l'année 2000 et la compagnie admet que ce modèle est valable sur la période allant de l'année 2000 à l'année 2016.
Le nombre de passagers choisissant la formule Privilège est modélisé par la fonction P définie sur l'intervalle 016 et le nombre de passagers choisissant la formule Avantage est modélisé par la fonction A définie sur l'intervalle 016. Le graphique donné ci-dessous représente les courbes représentatives CP et CA de ces deux fonctions.
Lorsque x représente le temps en année à partir de l'année 2000, Px représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Privilège et Ax représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Avantage.

Courbes représentatives des fonctions P et A : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans cette partie, les estimations seront obtenues par lecture graphique.

  1. Donner une estimation du nombre de passagers qui, au cours de l'année 2002, avaient choisi la formule Privilège.

  2. Donner une estimation de l'écart auquel la compagnie peut s'attendre en 2015 entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège.

  3. Comment peut-on interpréter les coordonnées du point d'intersection des deux courbes au regard de la situation proposée ?

  4. Justifier que la compagnie aérienne peut, selon ce modèle, estimer que le nombre total de passagers ayant choisi la formule Privilège durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre 240 000 et 320 000.

partie b

On admet que la fonction A est définie sur l'intervalle 016 par Ax=2lnx+1 et que la fonction P est définie sur l'intervalle 016 par Px=3+3e-0,2x.
On s'intéresse à la différence en fonction du temps qu'il y a entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège. Pour cela, on considère la fonction E définie sur l'intervalle 016 par Ex=Ax-Px.

  1. On note E la fonction dérivée de E sur l'intervalle 016.

    1. On admet que Ex=2x+1+0,6e-0,2x. Justifier que E est strictement positive sur l'intervalle 016.

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction E sur l'intervalle 016.

    1. Montrer que l'équation Ex=0 admet une unique solution, notée α, sur l'intervalle 016. Donner la valeur de α en arrondissant au dixième.

    2. Dresser le tableau de signes de la fonction E sur l'intervalle 016. Interpréter les résultats obtenus au regard des deux formules proposées par la compagnie aérienne.




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