Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane 2015

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. La fonction f définie sur par fx=x3+6x2 est convexe sur l'intervalle :

    a. -+

    b. -2+

    c. --2

    d. -6+

  2. Soit la fonction g définie sur par gx=x-2ex. L'équation gx=0 admet sur :

    a. aucune solution

    b. une seule solution

    c. exactement deux solutions

    d. plus de deux solutions

  3. On pose : I=01-2xe-x2dx. La valeur de I est :

    a. 1-e-1

    b. e-1-1

    c. -e-1

    d. e-1

  4. La fonction h est définie sur 0+ par hx=2x+4lnx. On note h la fonction dérivée de la fonction h.
    Pour tout nombre x de l'intervalle 0+, hx est égale à :

    a. 2x

    b. 2lnx+4x

    c. 2x+4x

    d. 2lnx+2x+4x

  5. Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5 % et cela pendant 3 mois consécutifs.
    Globalement, le prix de l'action a été multiplié par :

    a. 1,053

    b. 1,15

    c. 3×1,05

    d. 1,45


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L'enquête révèle que 70 % des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80 % pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10 % qui pratiquent le tri sélectif.

On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

Les résultats seront arrondis à 10-2 .

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

  2. Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.

  3. Montrer que la probabilité PT de l'évènement T est 0,59.

  4. On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.
    Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10 % ?

  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.
    Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.
    Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que X suit une loi binomiale.

    1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

    2. Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.

    3. Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une municipalité vient de mettre en place le service « vélo en liberté ». Il s'agit d'un service de location de vélos à la journée.
Les vélos sont disponibles sur deux sites A et B et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l'un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

Les résultats numériques seront arrondis à 10-2près.

  1. En notant respectivement A et B les états « le vélo est en A » et « le vélo est en B », traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  2. Donner M la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre A, B.

  3. Pour tout entier naturel n, on note an (respectivement bn) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après n jours, sur le site A (respectivement sur le site B).
    On note Pn la matrice anbn correspondant à l'état probabiliste après n jours.
    Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc P0=0,50,5.

    1. On donne : M2=0,480,520,390,61. Calculer P2 en donnant le détail des calculs matriciels.

    2. Calculer P4 et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

    3. Déterminer l'état stable du graphe, noté ab.

    4. Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site.
      La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir 12 vélos. Ce choix parait-il adapté à la situation ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10 % de ses clients, mais regagne dans le même temps 60000 nouveaux clients.

    1. On donne l'algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.

      variables :

      k, NbClients

      traitement :

      Affecter à k la valeur 0
      Affecter à NbClients la valeur 1 000 000

      Tant que k<8

        Affecter à k la valeur k + 1
        Affecter à NbClients la valeur 0,9 × NbClients + 60000
        Afficher NbClients

      Fin Tant que

    2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour k de 0 jusqu'à 5.

      k012345
      NbClients
  1. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite Un définie pour tout entier naturel n, par :{U0=1000Un+1=0,9Un+60 Le terme Un donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année 2010 + n.

    Pour étudier la suite Un, on considère la suite Vn définie pour tout entier naturel n par Vn=Un-600.

    1. Montrer que la suite Vn est géométrique de raison 0,9.

    2. Déterminer l'expression de Vn en fonction de n.

    3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a Un=400×0,9n+600.

    4. Montrer que la suite Un est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème.

  2. À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.
    Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8 % de ses clients et regagne 100 000 nouveaux clients.
    On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à 860 000.
    En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.
La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle X.
On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne μ=500 et d'écart type σ=2.

partie a

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

  1. Déterminer PX496. Donner le résultat arrondi à 10-2 près.

  2. Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres. Donner le résultat arrondi à 10-2 près.

  3. Comment choisir la valeur de α afin que P500-αX500+α soit approximativement égale à 0,95 à 10-2 près.

partie b

Une association de consommateurs a testé un lot de 200 bouteilles issues de cette chaine de production. Il a été constaté que 15 bouteilles contiennent moins de 500 ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage.
L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97 % des bouteilles produites contiennent au moins 500 millilitres de jus de fruit.
Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise ?




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