Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

On donne ci-dessous la représentation graphique 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -13.
On note f la fonction dérivée de f et F une primitive de f.
La tangente à la courbe 𝒞 au point A10 est tracée, elle passe par le point de coordonnées 03.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Calcul de f1

     a.  f1=3

     b.  f1=-3

     c.  f1=-13

     d.  f1=0

  2. La fonction f est :

     a.  concave sur -11

     b.  convexe sur -11

     c.  concave sur 02

     d.  convexe sur 02

  3. On pose I=01fxdx. Un encadrement de I est :

     a.  0I1

     b.  1I2

     c.  2I3

     d.  3I4

  4. La fonction F est :

     a.  croissante sur 01

     b.  décroissante sur 01

     c.  croissante sur -10

     d.  croissante sur -11


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans une ville, un service périscolaire comptabilise 150 élèves inscrits en septembre 2014. On admet que, chaque année, 80 % des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 40 nouveaux élèves inscrits. La capacité d'accueil du périscolaire est de 190 élèves maximum.
On modélise cette situation par une suite numérique unun représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année 2014 + n, avec n un nombre entier naturel.
On a donc u0=150.

  1. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre 2015.

  2. Pour tout entier naturel n, justifier que un+1=0,8un+40.

  3. On donne l'algorithme suivant :

    initialisation :

    Affecter à n la valeur 0
    Affecter à U la valeur 150

    traitement :

    Tant que U190
    n prend la valeur n+1
    U prend la valeur 0,8×U+40
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher le nombre 2014 + n

    1. Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au centième.

      Valeur de n0123
      Valeur de U150
      Condition U190Vraie
    2. En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat.

  4. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-200.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Pour tout entier naturel n, démontrer que un=200-50×0,8n.

    3. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que :200-50×0,8n>190

    4. À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'été un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du canoë-kayak ou de la planche à rame.
Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

On note :

On note, pour tout entier naturel n1 :

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment

partie a

  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets K et K¯.

  2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets K et K¯ étant classés dans cet ordre.

  3. Justifier que P1=0,850,15.

  4. Avec la calculatrice, déterminer l'état probabiliste lors du 3e jour.

  5. Pour tout entier naturel n1, montrer que pn+1=0,4pn+0,2.

  6. On considère l'algorithme suivant :

    initialisation :

    Choisir un nombre entier naturel N2
    p prend la valeur 0,85

    traitement :

    Pour i allant de 2 à N
    p prend la valeur 0,4p+0,2
    Fin pour

    Sortie :

    Afficher p

    1. Pour la valeur N=5 saisie, recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.

      Valeur de i2
      Valeur de p0,85
    2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de N saisie est 5.

    3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme.

partie b

D'après la partie A, on sait que pn+1=0,4pn+0,2 pour tout entier naturel n1.
On admet que pn=3160×0,4n-1+13 pour tout entier naturel n1.

  1. Conjecturer la limite de la suite pn.

  2. Interpréter le résultat.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.
Dans sa récolte :

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

On note pA la probabilité de l'évènement A.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

partie a

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.

  3. Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à 0,136.

  4. Calculer la probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée.

partie b

Une pomme pèse en moyenne 150 g. On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance μ=150 et d'écart type σ=10.

  1. Déterminer la probabilité que la pomme ait un poids inférieur à 150 g.

  2. Déterminer p120X170. Interpréter ce résultat.

partie c

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9 heures 30 minutes.
Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 89,5.

Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8 h 30 et 8 h 45.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 010 par fx=2x-5e-x+4+20.

partie a

  1. Montrer que, pour tout x de l'intervalle 010, fx=-2x+7e-x+4.

  2. En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle 010.
    Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.

  3. Justifier que l'équation fx=0 admet une unique solution α sur 010 et déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de α.

  4. On admet que la fonction F définie sur 010 par Fx=-2x+3e-x+4+20x est une primitive de f sur 010.
    Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle 010. Arrondir le résultat au millième.

partie b

Une entreprise fabrique entre 0 et 1000 objets par semaine.
Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et vend x centaines d'objets est modélisé par la fonction f définie sur 010 par :fx=2x-5e-x+4+20.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l'unité.

  1. Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ?
    Quel est ce bénéfice maximal en euros ?

  2. À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?

  3. Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.



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