Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2015

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10 fois de suite. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de « pile » obtenus.
    La probabilité d'obtenir exactement 5 « pile » est, arrondie au centième :

    a. 0,13

    b. 0,19

    c. 0,25

    d. 0,5

  2. X est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d'écart-type 2 ; alors une valeur approchée au centième de la probabilité pX5 est :

    a. 0,14

    b. 0,16

    c. 0,32

    d. 0,84

  3. Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. L'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de 0,95 étant inférieure ou égale à 0,04 la taille de l'échantillon choisi est :

    a. 400

    b. 1000

    c. 2000

    d. 2500

  4. Une entreprise vendant des parquets flottants s'approvisionne auprès de deux fournisseurs A et B. Le fournisseur A livre 70 % du stock de l'entreprise. On sait que 2 % des pièces livrées par A présentent un défaut et 3 % des pièces livrées par B présentent un défaut.
    On prélève au hasard une pièce du stock de l'entreprise, quelle est la probabilité, que cette pièce soit sans défaut ?

    a. 0,023

    b. 0,05

    c. 0,97

    d. 0,977

  5. Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de 0,1140 € au 01/07/2007 à 0,1372 € au 01/07/2014.
    Cette augmentation correspond à un taux d'évolution arrondi au centième, chaque année, de :

    a. 1,72 %

    b. 1,67 %

    c. 2,68 %

    d. 1,33 %


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Valentine place un capital c0 dans une banque le 1er janvier 2014 au taux annuel de 2 %. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25 € par an.

On note cn la valeur du capital au 1er janvier de l'année 2014 + n.

partie a

On considère l'algorithme ci-dessous :

Initialisation

Affecter à N la valeur 0

Traitement

Saisir une valeur pour C

Tant que C<2000 faire
Affecter à N la valeur N + 1
Affecter à C la valeur 1,02C-25
Fin Tant que

Sortie

Afficher N

    1. On saisit la valeur 1900 pour C. Pour cette valeur de C, recopier le tableau ci-dessous et le compléter, en suivant pas à pas l'algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.

      Valeur de N0
      Valeur de C1900
    2. Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.

  1. Que se passerait-il si on affectait la valeur 1250 à C ?

partie b

Valentine a placé 1900 € à la banque au 1er janvier 2014. On a donc c0=1900.

  1. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a : cn+1=1,02cn-25.

  2. Soit un la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par un=cn-1250.

    1. Montrer que la suite un est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Soit n un nombre entier naturel ; exprimer un en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : cn=650×1,02n+1250.

  3. Montrer que la suite cn est croissante.

  4. Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse 2100 €.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté GL. La coopérative est située au sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations ; les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

    1. Le graphe GL est-il complet ? Justifier.

    2. Le graphe GL est-il connexe ? Justifier.

  1. Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse

  2. On appelle M la matrice d'adjacence associée au graphe GL (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique).
    On donne la matrice M3=411378113611871312861337275624713788137128125881251111861312871336275724613412111348
    Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H.
    Indiquer ces chemins.

partie b

Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D ; quel est le plus court parcours pour se rendre de A à D ? Justifier.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3 ( 7 points ) commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur 010 par fx=x+e-x+1.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1f(x):=x+exp(-x+1)
// interprète f
// Succès lors de la compilation f
x → x+exp(-x+1)
2derive(f(x))
-exp(-x+1)+1
3solve(-exp(-x+1)+1>0)
[x>1]
4derive(-exp(-x+1)+1)
exp(-x+1)
  1. Étude des variations de la fonction f.

    1. En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation.

    2. En déduire que la fonction f admet un minimum dont on précisera la valeur.

  2. Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle 010.

partie b

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine.
Le coût de revient est modélisé par la fonction fx est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et fx le coût de revient exprimé en milliers d'euros.

  1. Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?

  2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12 €. On appelle marge brute pour x centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.

    1. Justifier que le montant obtenu par la vente de x centaines d'objets est 1,2x milliers d'euros.

    2. Montrer que la marge brute pour x centaines d'objets, notée gx, en milliers d'euros, est donnée par : gx=0,2x-e-x+1.

    3. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle 010.

    1. Montrer que l'équation gx=0 possède une unique solution α sur l'intervalle 010.

    2. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 0,01.

  3. En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.


exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur 01 par : fx=2-2x.

On a tracé ci-dessous la droite Df, représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé OIJ du plan.

Le point C a pour coordonnées 02.
Δ est la partie du plan intérieure au triangle OIC.

Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1 ; on note A le point de coordonnées a0 et B le point de Df de coordonnées afa.

Le but de cet exercice est de trouver la valeur de a, telle que le segment [AB] partage Δ en deux parties de même aire.

Déterminer la valeur exacte de a, puis une valeur approchée au centième.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.



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