Baccalauréat septembre 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie session septembre 2015

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

partie a

À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est égale à 0,12. Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.

  1. Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties est :

     a. 0,3271

     b. 0,0002

     c. 0,4824

     d. 0,1215

  2. Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d'emporter son lot ou de le remettre en jeu. La probabilité qu'un joueur emporte son lot sachant qu'il a gagné est 0,8. La valeur la plus approchée de la probabilité qu'il parte avec son lot après une seule partie est :

     a. 0,024

     b. 0,12

     c. 0,096

     d. 0,8

  3. On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance μ=150 et d'écart-type σ=10.
    Une valeur approchée à 10− 3 près de P140<X<160 est :

     a. 0,954

     b. 0,683

     c. 0,997

     d. 0,841

partie b

  1. la fonction f, dérivée de la fonction f définie sur par fx=2x+1e-x, a pour expression :

     a. -x-1e-x

     b. -2x-3e-x

     c. 2x+3e-x

     d. -2x+1e-x

  2. Soit un nombre réel strictement positif a. Parmi ces suites d'inégalités quelle est l'inégalité correcte ?

     a. a<lna<ea

     b. ea<a<lna

     c. lna<ea<a

     d. lna<a<ea


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

partie a

L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir.
Initialement, 40 % des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL.
Suite à l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.
L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

On note Z l'état : « l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois » et Z¯ l'état : « l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois ».

Pour tout entier naturel n, on note :

On a : an+bn=1 et P0=0,40,6.

  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets Z et Z¯.

    1. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe (la première colonne concerne Z et la deuxième concerne Z¯).

    2. Vérifier que P1=0,38920,6108.

  2. L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?

partie b

Un réseau de navettes gratuites est mis en place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.
Le graphe ci-dessous indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites ?

  2. Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?

  3. Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises

Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.

Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction u pour la filiale A et par la fonction v pour la filiale B.

Les fonctions u et v sont définies sur l'intervalle 01 par : ux=0,6x2+0,4x et vx=0,7x3+0,1x2+0,2x.

On a tracé ci-dessous les courbes représentatives C et C ' des fonctions u et v.

Courbes C et C' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer la courbe représentative de la fonction u en justifiant la réponse.

  2. Lorsque x représente un pourcentage de salariés, ux et vx représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

    Exemple : pour la courbe C, le point E0,600,3072 signifie que 60 % des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72 % de la masse salariale.

    1. Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.

    2. Pour les 50 % des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?

    3. Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?

  3. Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction f modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :cf=212-01fxdx

    1. Montrer que cu=0,2.

    2. En observant que cv2=01xdx-01vxdx, donner une interprétation graphique de cv2 en termes d' aires.

    3. En déduire que cv est compris entre 0 et 1.

    4. Justifier l'inégalité cucv.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

On considère une fonction P définie et dérivable sur l'intervalle 060.
On donne, ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction P.

Courbe C : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :

  1. En argumentant la réponse, donner le signe de P54, où P est la fonction dérivée de P.

  2. Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe.

  3. Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation Px=10.

  4. On note A le nombre 010Pxdx ; choisir l'encadrement qui convient pour A.

    0<A<6060<A<706<A<710<A<11

partie b

La fonction P est définie sur l'intervalle 060 par : Px=6+60-xe0,1x-5.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :

ActionsRésultats
définir(P(x)=6+(60-x)*exp(0.1*x-5))x ↦ 6+(60-x)*exp(0.1*x-5)
dériver(P(x),x)(-0.1*x+5)exp(0.1*x-5)
dériver(dériver(P(x),x),x)(-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)
    1. Étudier le signe de Px sur l'intervalle 060P est la fonction dérivée de P.

    2. En déduire les variations de la fonction P sur l'intervalle 060 et vérifier que la fonction P admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.

  1. Montrer que l'équation Px=10 a une solution unique x0 sur l'intervalle 040.
    Donner une valeur approchée de x0 à 0,1 près.

  2. En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction P.




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