Baccalauréat 2015 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2015

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f définie sur l'intervalle -31.

    x-3-101

    Variations de f

    -6

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -1

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    4

    proposition 1 : L'équation fx=0 admet une unique solution dans l'intervalle -31.

  2. On considère une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle 013 et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction g, fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle 013.

    Courbe représentative de la fonction g' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    proposition 2 : La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle 04.

    proposition 3 : La fonction g est concave sur l'intervalle 013.

  3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction h définie sur l'intervalle 1e par hx=1x.

    Courbe représentative de la fonction h : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    proposition 4 : La fonction h est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle 1e.


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction ݂ définie et dérivable sur l'intervalle 118.
On note x le nombre de parasols produits par jour et fx le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C de la fonction f et la tangente TA à la courbe C au point A555. Le point B1025 appartient à la tangente TA.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On admet que fx=2x+5+40e-0,2x+1 pour tout x appartenant à l'intervalle 118.

    1. Déterminer graphiquement la valeur de f5 en expliquant la démarche utilisée.

    2. Déterminer l'expression de fx pour tout x appartenant à l'intervalle 118.

    3. Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1) a).

    1. Montrer que 2-8e-0,2x+10 est équivalent à x5+5ln4.

    2. En déduire le signe de fx et le tableau de variations de f sur 118. Les valeurs seront arrondies au centime d'euro dans le tableau de variations.

  1. Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l'entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal.

    1. Montrer que la fonction F définie par Fx=x2+5x-200e-0,2x+1 est une primitive de f sur l'intervalle 118.

    2. Déterminer la valeur exacte de l'intégrale I=515fxdx

    3. Interpréter dans le contexte de l'exercice la valeur de 110I.


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10 - 3.

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines MA et MB.
La machine MA fournit 40 % de la production totale et MB le reste.
La machine MA produit 2 % de médailles défectueuses et la machine MB produit 3 % de médailles défectueuses.

partie a

On prélève au hasard une médaille produite par l'entreprise et on considère les évènements suivants :

    1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

    2. Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à 0,026.

    3. Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine MA sachant qu'elle est défectueuse.

  1. Les médailles produites sont livrées par lots de 20. On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.
    On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.
    On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

    1. Préciser la loi que suit X et donner ses paramètres.

    2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot.

partie b

Le diamètre exprimé en millimètre, d'une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu'il appartient à l'intervalle 74,475,6.

On note Y la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire Y suit une loi normale de moyenne μ et d'écart-type 0,25.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de Y.

Loi normale, densité de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Indiquer par lecture graphique la valeur de μ.

  2. Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité P74,4Y75,6.

  3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de h pour que P75-hY75+h0,95

partie c

Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine MB, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est de 3 %.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine MB, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

  1. Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.

  2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine MB.


exercice 4 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une retenue d'eau artificielle contient 100 000 m3 d'eau le 1er juillet 2013 au matin.
La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l'eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l'irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite Vn.
Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m3 est V0=100 000.
Pour tout entier naturel n supérieur à 0, Vn désigne le volume d'eau en m3 au matin du n-ième jour qui suit le 1er juillet 2013.

    1. Justifier que le volume d'eau V1 au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m3.

    2. Déterminer le volume d'eau V2, au matin du 3 juillet 2013.

    3. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a Vn+1=0,96Vn-500.

  1. Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous.
    Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

    L1Variables :V est un nombre réel
    L2N est un entier naturel
    L3Traitement : Affecter à V la valeur 100 0000
    L4Affecter à N la valeur 0
    L5Tant que V>0
    L6Affecter à N la valeur …
    L7Affecter à V la valeur …
    L8Fin Tant que
    L9Sortie : Afficher …
  2. On considère la suite Un définie pour tout entier naturel n par Un=Vn+12 500.

    1. Montrer que la suite Un est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme.

    2. Exprimer Un en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn=112 500×0,96n-12 500.

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation 112 500×0,96n-12 5000.

    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.


exercice 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).
Une étude a montré que d'une année à l'autre :

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste 𝒢 de sommets S et T où :

Chaque année on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel n :Chaque année on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel n :

On note Pn=sntn la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année 2014+n.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

partie a

  1. Dessiner le graphe probabiliste 𝒢.

  2. On admet que la matrice de transition du graphe 𝒢 en considérant les sommets dans l'ordre S et T est M=0,590,410,090,91.
    On note P=ab la matrice ligne correspondant à l'état stable de ce graphe 𝒢.

    1. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système {0,41a-0,09b=0a+b=1.

    2. Résoudre le système précédent.

  3. On admet que a=0,18 et b=0,82. Déterminer, en justifiant, si l'opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif.

partie b

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l'opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l'opérateur TECIM. Ainsi P0=0,350,65.

  1. Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans.

  2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : tn+1=0,5tn+0,41.

  3. Pour déterminer au bout de combien d'années l'opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

    L1Variables :T est un nombre
    L2N est un nombre entier
    L3Traitement : Affecter à T la valeur 0,65
    L4Affecter à N la valeur 0
    L5Tant que T<0
    L6Affecter à T la valeur …
    L7Affecter à N la valeur …
    L8Fin Tant que
    L9Sortie : Afficher …
  4. On considère la suite un définie pour tout entier naturel n par un=tn-0,82.

    1. Montrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme.

    2. En déduire que : tn=-0,17×0,5n+0,82.

    3. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation: -0,17×0,5n+0,820,80.

    4. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.



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