sujet : Centres Étrangers 2015

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie a

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

   On sait que :

   • 22 % des fruits livrés sont issus de l'agriculture biologique d'où $p\left(B\right)=\mathrm{0,22}$ et $p\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,22}=\mathrm{0,78}$.
   • Parmi les fruits issus de l'agriculture biologique, 95 % sont sélectionnés pour la préparation des confitures d'où $p_B\left(S\right)=\mathrm{0,95}$ et $p_B\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$.
   • Parmi les fruits non issus de l'agriculture biologique, 90 % sont sélectionnés pour la préparation des confitures d'où $p_{\overline{B}}\left(S\right)=\mathrm{0,90}$ et $p_{\overline{B}}\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,90}=\mathrm{0,10}$.

   L'arbre de pondéré traduisant la situation est :

2. Déterminer la probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu'il soit issu de l'agriculture biologique.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(S\cap B\right)=p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(S\cap B\right)=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,22}=\mathrm{0,209}\end{array}$$

   La probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu'il soit issu de l'agriculture biologique est égale à 0,209.

   ---

3. Montrer que $p\left(S\right)=\mathrm{0,911}$.

   Les évènements B et S sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(B\cap S\right)+p\left(\overline{B}\cap S\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{B}\cap S\right)=p_{\overline{B}}\left(S\right)\times p\left(\overline{B}\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{B}\cap S\right)=\mathrm{0,90}\times \mathrm{0,78}=\mathrm{0,702}\hfill \end{array}$$

   On obtient alors $$p\left(S\right)=\mathrm{0,209}+\mathrm{0,702}=\mathrm{0,911}$$

   La probabilité que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures est égale à 0,911.

   ---

4. Sachant que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures, déterminer la probabilité qu'il ne soit pas issu de l'agriculture biologique.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(\overline{B}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{B}\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{Soit}& p_S\left(\overline{B}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,702}}{\mathrm{0,911}}}\approx \mathrm{0,771}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que le fruit sélectionné pour la préparation des confitures ne soit pas issu de l'agriculture biologique est 0,771.

   ---

partie b

Cette entreprise conditionne la confiture en pots de 300 grammes.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture, associe sa masse en gramme.
On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu =300$ et d'écart type $\sigma =2$.
L'entreprise ne commercialise les pots de confiture que si l'écart entre la masse affichée (c'est-à-dire 300 g) et la masse réelle ne dépasse pas 4 grammes.

1. On prélève un pot au hasard. Déterminer la probabilité que le pot soit commercialisé.

   D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors, $p\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,954}$. Par conséquent, $$p\left(296⩽X⩽304\right)\approx \mathrm{0,954}$$

   La probabilité que le pot soit commercialisé est 0,954.

   ---

2. Déterminer le réel a tel que $p\left(X<a\right)=\mathrm{0,01}$.

   On détermine la valeur de a à l'aide de la fonction "Fractile" de la calculatrice :

   • Sur TI FracNormale(0.01,300,2)
   • Sur Casio InvNormCD(0.01,2,300)

   ---

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $a\approx \mathrm{295,347}$.

   ---

partie c

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Le directeur commercial affirme que 90 % des consommateurs sont satisfaits de la qualité des produits commercialisés par son entreprise.
On réalise une étude de satisfaction sur un échantillon de 130 personnes. Parmi les personnes interrogées, 15 déclarent ne pas être satisfaites des produits.
Déterminer, en justifiant, si l'on doit remettre en question l'affirmation du directeur commercial.

Comme $n=130$, $n\times p=130\times \mathrm{0,9}=117$ et $n\times \left(1-p\right)=130\times \mathrm{0,1}=13$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,9}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,1}}{130}}};\mathrm{0,9}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,1}}{130}}}\right]\end{array}$$

Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des consommateurs satisfaits de la qualité des produits commercialisés par l'entreprise sur un échantillon de taille 130 est $I=\left[\mathrm{0,848};\mathrm{0,952}\right]$.

La fréquence f des consommateurs satisfaits de la qualité des produits commercialisés par l'entreprise dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{130-15}{130}}\approx \mathrm{0,885}$$

La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, on ne remet pas en question l'affirmation du directeur commercial.

---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.