sujet : Amérique du Sud 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

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1. La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.
   On pose $I={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Un encadrement de I est :

   Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ la fonction f est positive donc le réel $I={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$. Or cette aire est comprise entre 6 et 8 unités d'aire.

   a. $0⩽I⩽2$

   b. $2⩽I⩽4$

   c. $4⩽I⩽6$

   d. $6⩽I⩽8$

2. Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^x-3x^2$.
   La courbe représentative de g admet un point d'inflexion qui a pour abscisse :

   La convexité de la fonction g se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   • La dérivée de la fonction g est la fonction définie pour tout réel x par $g\prime \left(x\right)=2{\mathrm{e}}^x-6x$.

   • La dérivée seconde de la fonction g est la fonction définie pour tout réel x par $g″\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^x-6$.

   Étudions le signe de la dérivée seconde :$$\begin{array}{ccc}2{\mathrm{e}}^x-6⩽0& \iff & x⩽\ln 3\end{array}$$

   x	$-\infty$		$\ln 3$		$+\infty$
   Signe de $g″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de g		g est concave		g est convexe

   La fonction g change de convexité pour $x=\ln 3$ donc la courbe représentative de g admet un point d'inflexion qui a pour abscisse $\ln 3$.

   a. 1

   b. 0

   c. $\ln 3$

   d. $\ln 2$

3. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $ℬ\left(10;\mathrm{0,6}\right)$.
   La probabilité qui admet pour valeur approchée 0,012 est :

   À l'aide de la calculatrice on trouve $p\left(X⩽2\right)\approx \mathrm{0,0122}$.

   a. $p\left(X=2\right)$

   b. $p\left(X⩾2\right)$

   c. $p\left(X⩽2\right)$

   d. $p\left(X<2\right)$

4. Une société de vente en ligne de chaussures souhaite connaître la proportion d'articles présentant un défaut de coloris. Pour cela, on prélève au hasard dans le stock 400 paires de chaussures. On constate que 24 paires présentent ce défaut.
   L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion p de paires de chaussures présentant un défaut de coloris est :

   La féquence observée f des paires de chaussures présentant un défaut de coloris dans l'échantillon est $$f={\displaystyle \frac{24}{400}}=\mathrm{0,06}$$

   Comme $n⩾30$, $nf⩾5$ et $n\left(1-f\right)⩾5$ alors intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, de la proportion p de paires de chaussures présentant un défaut de coloris est l'intervalle :$$\left[\mathrm{0,06}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}};\mathrm{0,06}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}}\right]=\left[\mathrm{0,01};\mathrm{0,11}\right]$$

   a. $\left[\mathrm{0,89};\mathrm{0,99}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,01};\mathrm{0,11}\right]$

   c. $\left[\mathrm{0,05};\mathrm{0,07}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,92};\mathrm{0,96}\right]$

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