sujet : Amérique du Sud 2016

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Un groupe de touristes a réservé toutes les chambres d'un hôtel-restaurant à Venise qui propose tous les soirs à ses pensionnaires le choix entre un menu gastronomique et un menu traditionnel.
On considère, pour la modélisation, que chaque soir les clients choisissent un des deux menus et que le restaurant est réservé aux clients de l'hôtel.
Une étude sur les habitudes des clients montre que, si un soir donné, un client choisit le menu gastronomique, il choisit également le menu gastronomique le soir suivant dans 60 % des cas.
Si le client choisit le menu traditionnel un soir donné, il choisit également le menu traditionnel le soir suivant dans 70 % des cas.
Afin de mieux prévoir ses commandes pour la saison estivale, le gérant souhaite connaître la proportion de clients choisissant le menu gastronomique ou le menu traditionnel à partir du 1^er juin 2015. Ce soir-là, 55 % des clients ont choisi le menu gastronomique.
On note $g_0$ la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 1^er juin 2015 ; on a donc $g_0=\mathrm{0,55}$.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note $g_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne le menu gastronomique le n-ième soir après le 1^er juin 2015.
Ainsi, $g_1$ est la probabilité qu'un client ait choisi le menu gastronomique le soir du 2 juin 2015.
De la même façon, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note $t_n$ la probabilité qu'un client, choisi au hasard, prenne le menu traditionnel le n-ième soir après le 1^er juin 2015.
On note $P_n$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}{g}_n& t_n\end{array}\right)$ correspondant à l'état probabiliste au n-ième soir.
On note G l'état « le client choisit le menu gastronomique » et T l'état « le client choisit le menu traditionnel ».

1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets G et T.

Dans la suite de l'exercice, on admet que la matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

2. 1. Donner la matrice $P_0$ correspondant à l'état initial.

      $g_0=\mathrm{0,55}$ d'où $t_0=1-\mathrm{0,55}=\mathrm{0,45}$

      Ainsi, $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\end{array}\right)$.

      ---

   2. Calculer la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique le 4 juin 2015. On arrondira le résultat au centième.

      L'état probabiliste du système le 4 juin 2015 est : $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_0\times M^3& \text{Soit}& \left(\begin{array}{cc}{g}_3& t_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,55}& \mathrm{0,45}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)}^3\approx \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43}& \mathrm{0,57}\end{array}\right)\end{array}$$

      Arrondie au centième près, la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique le 4 juin 2015 est 0,43.

      ---

3. 1. Déterminer la matrice $P=\left(\begin{array}{cc}g& t\end{array}\right)$ correspondant à l'état stable du graphe probabiliste.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}g& t\end{array}\right)$ avec $g+t=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}g& t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}g& t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}g& t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}g+\mathrm{0,3}t& \mathrm{0,4}g+\mathrm{0,7}t\end{array}\right)\end{array}$$

      D'où g et t vérifient la relation $g=\mathrm{0,6}g+\mathrm{0,3}t$. Comme d'autre part, $g+t=1$ on en déduit que g et t sont solutions du système : $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{c}g=\mathrm{0,6}g+\mathrm{0,3}t\\ g+t=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,4}g-\mathrm{0,3}t=0\\ g+t=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,7}g=\mathrm{0,3}\\ g+t=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}g={\displaystyle \frac{3}{7}}\\ t={\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, l'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{7}}& {\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}\right)$.

      ---

   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      À partir d'un certain temps, tous les soirs, la probabilité qu'un client choisisse le menu gastronomique sera égale à ${\displaystyle \frac{3}{7}}$.

      ---

partie b

1. Justifier qu'un tel trajet est possible et indiquer quels sont les lieux possibles de départ et d'arrivée.

   Déterminer un trajet passant une fois et une seule par chaque canal, c'est chercher s'il existe une chaîne eulérienne.

   • La chaîne R - L - C - S - U - M - G - P contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

   • Le graphe étant connexe, déterminons le degré de chacun des sommets :

     Sommets	R	L	C	S	U	M	G	P
     Degré	2	3	3	4	4	2	4	2

     Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets C et L de degré impair par conséquent, il existe une chaîne eulérienne.

   Un trajet permettant d'inspecter une fois et une seule chaque canal est posible à condition de commencer par un des deux sommets de degré impair C ( Ca'Pesaro) ou L (Palazzo Labia) et de terminer par l'autre sommet de degré impair.

   ---

2. Déterminer la durée pour effectuer ce trajet.

   La durée du trajet est égale à la somme des poids de chaque arête soit une durée de 59 minutes.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.