Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2016

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

L'entreprise Éclairage vend des ampoules à deux magasins de bricolage : Atelier et Bricolo.
Cette entreprise propose trois types d'ampoules : les ampoules fluocompactes qui représentent 30 % du stock, les ampoules halogènes qui représentent 25 % du stock et les ampoules à LED qui représentent 45 % du stock.

On sait que :

  • 65 % des ampoules fluocompactes sont achetées par le magasin Atelier ;
  • 70 % des ampoules halogènes sont achetées par le magasin Bricolo ;
  • 50 % des ampoules à LED sont achetées par le magasin Atelier.

On prélève au hasard une ampoule provenant du stock de l'entreprise Éclairage.
On considère les évènements suivants :

  • F : « l'ampoule est une ampoule fluocompacte » ;
  • H : « l'ampoule est une ampoule halogène » ;
  • L : « l'ampoule est une ampoule à LED » ;
  • A : « l'ampoule est achetée par le magasin Atelier » ;
  • B : « l'ampoule est achetée par le magasin Bricolo ».
  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer p(FA) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    p(FA)=pF(A)×p(F)soitp(FA)=0,65×0,3=0,195

    p(FA)=0,195, la probabilité que l'ampoule choisie soit une ampoule fluocompacte destinée au magasin Atelier est égale à 0,195.


  3. Calculer la probabilité qu'une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(B)=p(BF)+p(BH)+p(BL)soitp(B)=pF(B)×p(F)+pH(B)×p(H)+pL(B)×p(L)d'oùp(B)=0,35×0,3+0,7×0,25+0,5×0,45=0,505

    La probabilité qu'une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo est égale à 0,505.


partie b

Une norme de qualité stipule qu'une marque peut commercialiser ses ampoules si leur durée de vie est supérieure à 20000 heures avec une probabilité d'au moins 0,95.

  1. On note X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque ÉclaireBien. On admet que X suit la loi normale dont la fonction de densité est tracée ci-après.
    L'aire grisée comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 0,46.

    Loi normale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

    1. Donner l'espérance mathématique de X.

      La courbe représentative de la fonction de densité de la variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance μ est symétrique par rapport à la droite d'équation x=μ.

      L'espérance mathématique de X est μ=40000.


    2. Déterminer p(20000<X<60000).

      La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance mathématique μ=40000 d'où :p(20000<X<60000)=2×p(20000<X<40000)=2×0,46=0,92

      p(20000<X<60000)=0,92.


    3. Déterminer si la marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules. Justifier la réponse.

      Nous avons p(X>20000)=1-p(X20000) avec p(X20000)=0,5-p(20000<X<40000)=0,5-0,46=0,04

      D'où p(X>20000)=1-0,04=0,96

      p(X>20000)=0,96 donc la durée de vie d'une ampoule de la marque ÉclaireBien est supérieure à 20000 heures avec une probabilité égale à 0,96.
      La marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules.


  2. On note Y la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque BelleLampe.
    On admet que Y suit la loi normale d'espérance 42000 et d'écart-type 15000.

    1. Justifier que la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules.

      p(Y>20000)=0,5+p(20000<Y<42000)0,929

      La durée de vie d'une ampoule de la marque BelleLampe est supérieure à 20000 heures avec une probabilité inférieure à 0,95 donc la BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules.


    2. Déterminer le nombre a, arrondi à l'unité, tel que p(Y<a)=0,05 et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

      Avec la calculatrice, on trouve p(Y<a)=0,05 pour a17327.

      La durée de vie d'une ampoule de la marque BelleLampe est inférieure à 17327 heures avec une probabilité égale à 0,05.



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