Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2016

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Le gérant d'un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.
Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l'UNESCO et l'hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l'indique le tableau ci-dessous :

Année	1997	1998	1999	2000
Nombre de clients	950	1105	2103	2470

Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.
$\frac{2470}{950} = 2,6$
Entre 1997 et 2000 le nombre de clients a augmenté de 160 %.

Par ailleurs, depuis le 1^er janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l'hôtel compte 1200 nouveaux clients et que 70 % des clients de l'année précédente reviennent.
On modélise cette situation par une suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ représente le nombre total de clients de l'hôtel durant l'année $2000 + n$ .
On a ainsi $u_{0} = 2470$ et, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 0,7 u_{n} + 1200$ .

Déterminer le nombre total de clients durant l'année 2001.
$u_{1} = 0,7 \times 2470 + 1200 = 2929$
En 2001 2929 clients ont fréquenté cet hôtel.

Le gérant de l'hôtel souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3900.
Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année correspondante.

Algorithme 1	Algorithme 2	Algorithme 3
U prend la valeur 2470 N prend la valeur 0	U prend la valeur 2470 N prend la valeur 0	U prend la valeur 2470 N prend la valeur 0
Tant que $U < 3900$ U prend la valeur $0,7 \times U + 1200$ N prend la valeur $N + 1$ Fin tant que	Tant que $U > 3900$ U prend la valeur $0,7 \times U + 1200$ N prend la valeur $N + 1$ Fin tant que	Tant que $U < 3900$ U prend la valeur $0,7 \times U + 1200$ N prend la valeur $N + 1$ Fin tant que
Afficher $2000 + N$	Afficher $2000 + N$	Afficher U

L'algorithme 2 ne convient pas car la condition Tant que $U < 3900$ sert à déterminer à quel moment le nombre de clients annuel sera inférieur ou égal à 3900 ce qui est déjà réalisé. La boucle Tant que ne sera pas exécutée.
L'algorithme 3 ne convient pas car il affiche la première valeur du nombre de clients inférieure à 3900.

L'algorithme 1 permet de déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3900.

On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 4000$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ et préciser le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 4000 \\ = & 0,7 u_{n} + 1200 - 4000 \\ = & 0,7 u_{n} - 2800 \\ = & 0,7 \times (u_{n} - 4000) \\ = & 0,7 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,7 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ dont le premier terme $v_{0} = 2470 - 4000 = - 1530$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n, pour tout entier naturel n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ dont le premier terme $v_{0} = - 1530$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = - 1530 \times {0,7}^{n}$ .
3. Justifier que $u_{n} = 4000 - 1530 \times {0,7}^{n}$ pour tout entier naturel n.
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 4000 \Leftrightarrow u_{n} = 4000 + v_{n}$ on en déduit que :
  $u_{n} = 4000 - 1530 \times {0,7}^{n}$ pour tout entier naturel n.
4. Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé 3900.
  Le nombre d'années n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} u_{n} > 3900 & \Leftrightarrow & 4000 - 1530 \times {0,7}^{n} > 3900 \\ \Leftrightarrow & - 1530 \times {0,7}^{n} > - 100 \\ \Leftrightarrow & {0,7}^{n} < \frac{10}{153} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,7}^{n}) < \ln \frac{10}{153} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,7 < \ln \frac{10}{153} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{10}{153}}{\ln 0,7} & \ln 0,7 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln \frac{10}{153}}{\ln 0,7} \approx 7,6$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 3900$ est $n = 8$ .
  Le nombre de clients a dépassé 3900 en 2008.
À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année.
$0 < 0,7 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,7}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 4000 - 1530 \times {0,7}^{n} = 4000$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 4000$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 4000 donc à partir d'un certain nombre d'années, le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année 4000 clients.

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