Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2016

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction g définie sur l'intervalle $[1; 45]$ par $g (x) = - 20 x + 5 x \ln (x) + 30$ .

On note $g'$ la fonction dérivée de g.
Montrer que, pour tout x appartenant à $[1; 45]$ , on a $g' (x) = - 15 + 5 \ln (x)$ .
Pour tout réel x appartenant à $[1; 45]$ , on a : $\begin{array}{rcl} g' (x) & = & - 20 + (5 \times \ln (x) + 5 x \times \frac{1}{x}) \\ = & - 20 + 5 \ln (x) + 5 \\ = & - 15 + 5 \ln (x) \end{array}$
La fonction dérivée $g'$ est définie sur l'intervalle $[1; 45]$ par $g' (x) = - 15 + 5 \ln (x)$ .
Montrer que l'inégalité $- 15 + 5 \ln (x) ⩾ 0$ est équivalente à $x ⩾ e^{3}$ .
Pour tout réel x strictement positif : $\begin{array}{rcl} - 15 + 5 \ln (x) ⩾ 0 & \Leftrightarrow & 5 \ln (x) ⩾ 15 \\ \Leftrightarrow & \ln (x) ⩾ 3 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e^{3} \end{array}$
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, $- 15 + 5 \ln (x) ⩾ 0 \Leftrightarrow x ⩾ e^{3}$ .

Dresser le tableau de variations de la fonction g (les valeurs seront arrondies au centième si besoin).

Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée.

x	1		$e^{3}$		45
$g' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$g (x)$	10		$30 - 5 e^{3}$		$225 \ln (45) - 870$

1. Montrer que l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[1; 45]$ .
  On a $g (1) = 10$ , $g (e^{3}) = 30 - 5 e^{3} \approx - 70,43$ et $g (45) = 225 \ln (45) - 870 \approx - 13,5$ .
  - Sur l'intervalle $[1; e^{3}]$ , la fonction g est dérivable donc continue, strictement décroissante et $g (e^{3}) < 0 < g (1)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [1; e^{3}]$ .
  - Sur l'intervalle $[e^{3}; 45]$ , la fonction g est strictement croissante et $g (45) < 0$ . Donc pour tout réel x appartenant à $[e^{3}; 45]$ , on a $g (x) < 0$ .
  Ainsi, l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[1; 45]$ avec $α \in [1; e^{3}]$ .
2. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,01.
  À l'aide de la calculatrice, on trouve $1,74 ⩽ α ⩽ 1,75$ .
3. En déduire le signe de $g (x)$ suivant les valeurs de x dans l'intervalle $[1; 45]$ .
  À partir du tableau des variations de la fonction g nous pouvons déduire le tableau du signe de $g (x)$ suivant les valeurs de x dans l'intervalle $[1; 45]$ :
  x 1 α 45
  $g (x)$ + $0_{|}^{|}$ −
On considère la fonction G définie sur l'intervalle $[1; 45]$ par $G (x) = - 11,25 x^{2} + 2,5 x^{2} \ln (x) + 30 x$ .
Montrer que G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle $[1; 45]$ .
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[1; 45]$ , on a : $\begin{array}{rcl} G' (x) & = & - 2 \times 11,25 x + (2 \times 2,5 x \times \ln (x) + 2,5 x^{2} \times \frac{1}{x}) + 30 \\ = & - 22,5 x + 5 x \ln (x) + 2,5 x + 30 \\ = & - 20 x + 5 x \ln (x) + 30 \end{array}$
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[1; 45]$ , on a $G' (x) = g (x)$ donc la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle $[1; 45]$ .
1. Calculer une valeur approchée au dixième de l'intégrale $\int_{10}^{45} g (x) d x$ .
  Comme G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle $[1; 45]$ on a : $\begin{array}{rcl} \int_{10}^{45} g (x) d x & = & G (45) - G (10) \\ = & (- 11,25 \times 45^{2} + 2,5 \times 45^{2} \times \ln (45) + 30 \times 45) - (- 11,25 \times 100 + 2,5 \times 100 \times \ln (10) + 30 \times 10) \\ = & 5062,5 \ln (45) - 250 \ln (10) - 20606,25 \approx - 1910,67 \end{array}$
  $\int_{10}^{45} g (x) d x \approx - 1910,7$ .
2. Déduire de la question précédente la valeur moyenne de g sur l'intervalle $[10; 45]$ . Arrondir le résultat à l'unité.
  La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $[10; 45]$ est : $\begin{matrix} μ = \frac{1}{45 - 10} \times \int_{10}^{45} g (x) d x & Soit & μ \approx - \frac{1910,7}{35} \approx - 55 \end{matrix}$
  Arrondie à l'unité, la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $[10; 45]$ est $(- 55)$ .

partie b

Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu'à 45 km d'altitude.
On admet que la fonction g définie dans la partie A modélise la température de l'air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l'altitude x du ballon sonde, exprimée en km.
À l'aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

Déterminer l'altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à 0 degré Celsius.
La température devient inférieure à 0 degré Celsius à partir d'une altitude α comprise entre 1,74 et 1,75 km.
Déterminer la température minimale relevée par la sonde.
Le minimum de la fonction g est $g (e^{3}) = 30 - 5 e^{3} \approx - 70,43$
La température minimale relevée par la sonde est d'environ $(- 70)$ degrés Celsius.
On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10 km et 45 km d'altitude.
Déterminer la température moyenne de la stratosphère. Le résultat sera arrondi au degré.
La température moyenne de la stratosphère est d'environ $(- 55)$ degrés Celsius.

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