Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

On donne le tableau de variation d'une fonction f définie sur l'intervalle $[- 1; 3]$ :

x	$- 1$		1		2		3
Variations de f	$- 2$		2		$- 1$		$- 0,5$

Dans l'intervalle $[- 1; 3]$ , l’équation $f (x) = 0$ admet :

Par convention sur le tableau de variation, on admet que la fonction f est continue. On applique le théorème de la valeur intermédiaire sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone :

sur l'intervalle $[- 1; 1]$ , la fonction f est strictement croissante et $f (- 1) < 0 < f (1)$ donc l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $x_{1} \in] - 1; 1 [$ ;
sur l'intervalle $[1; 2]$ , la fonction f est strictement décroissante et $f (2) < 0 < f (1)$ donc l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $x_{2} \in] 1; 2 [$ ;
sur l'intervalle $[2; 3]$ , on a $f (x) ⩽ - 0,5$ donc l'équation $f (x) = 0$ n'admet pas de solution sur cet intervalle.

a. exactement 3 solutions

b. exactement 2 solutions

c. exactement 1 solution

d. pas de solution

L'équation $\ln (2 x) = 2$ admet une unique solution $x_{0}$ sur $ℝ$ . On a :
Pour tout réel x strictement positif : $\begin{array}{rcl} \ln (2 x) = 2 & \Leftrightarrow & 2 x = e^{2} \\ \Leftrightarrow & x = \frac{e^{2}}{2} \end{array}$
a. $x_{0} = 0$
b. $x_{0} = \frac{e^{2}}{2}$
c. $x_{0} = \frac{\ln 2}{2}$
d. $x_{0} = 3,69495$
La suite $(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 400$ et de raison $\frac{1}{2}$ .
La somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10}$ est égale à :
x est la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 400$ et de raison $\frac{1}{2}$ d'où : $S = 400 \times \frac{1 - {0,5}^{11}}{1 - 0,5} = 800 \times (1 - {0,5}^{11})$
a. $2 \times (1 - {0,5}^{10})$
b. $2 \times (1 - {0,5}^{11})$
c. $800 \times (1 - {0,5}^{10})$
d. $800 \times (1 - {0,5}^{11})$

On considère l'algorithme ci-dessous :

variables :

n est un nombre entier naturel
U est un nombre réel

traitement :

Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 50

Tant que $U < 120$ faire

U prend la valeur $1,2 \times U$
n prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

sortie :

Afficher n

En fin d'exécution, cet algorithme affiche la valeur :

Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 50$ et de raison $q = 1,2$ . La suite $(u_{n})$ est croissante et, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 50 \times {1,2}^{n}$ .
L'algorithme permet de déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩾ 120$ . Soit $\begin{array}{rcll} 50 \times {1,2}^{n} ⩾ 120 & \Leftrightarrow & {1,2}^{n} ⩾ 2,4 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,2}^{n}) ⩾ \ln 2,4 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,2 ⩾ \ln 2,4 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 2,4}{\ln 1,2} \end{array}$

Comme $\frac{\ln 2,4}{\ln 1,2} \approx 4,8$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩾ 120$ est $n = 5$ .

a. 4

b. 124,416

c. 5

d. 96

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 2 + 3 \ln (x)$ .
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation :
La dérivée de la fonction f est définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f' (x) = \frac{3}{x}$ .
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation : $y = f' (1) \times (x - 1) + f (1)$
Or $f (1) = 2$ et $f' (1) = 3$ . D'où une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 : $\begin{array}{rcl} y = 3 \times (x - 1) + 2 & \Leftrightarrow & y = 3 x - 1 \end{array}$
a. $y = \frac{3}{x}$
b. $y = 3 x - 1$
c. $y = 3 x$
d. $y = 3 x + 2$

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.