sujet : Antilles Guyane 2016

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. 1. Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel et en y revenant ? Justifier la réponse.

      La chaîne H - B - G - E - F - C - D contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts il existe au moins une chaîne de longueur 7 les reliant donc le graphe est connexe.

      Déterminons le degré de chacun des sommets :

      Sommets	B	C	D	E	F	G	H
      Degré	2	4	3	2	4	4	3

      Il y a deux sommets de degré impair donc le graphe n'admet pas de cycle eulérien. Le guide ne peut pas emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel et en y revenant.

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   2. Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel mais sans forcément y revenir ? Justifier la réponse.

      Le graphe est connexe et, il n'y a que deux sommets de degré impair H et D donc le graphe admet une chaîne eulérienne. Le guide peut emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel H et en arrivant en D.

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2. Un musée est situé en E. Déterminer le plus court chemin menant de l'hôtel H au musée E. Justifier la réponse.

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le plus court de l'hôtel H au musée E

   B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
   ∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	H (0)
   12 (H)	20 (H)	9 (H)	∞	∞	∞		D (9)
   12 (H)	17 (D)		∞	30 (D)	∞		B (12)
   	17 (D)		∞	30 (D)	25 (B)		C (17)
   			∞	28 (C)	24 (C)		G (24)
   			33 (G)	28 (C)			F (28)
   			31 (F)				E (31)

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   Le sommet E étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de E et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $E\leftarrow F\leftarrow C\leftarrow D\leftarrow H$.

   Le trajet le plus court menant de l'hôtel H au musée E est H - D - C - F - E.

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partie b

1. Réaliser un graphe décrivant cette situation (on notera R l'évènement « l'hôtel est répertorié » et $\overline{R}$ son évènement contraire).

   Notons $R_n$ l'évènement « l'hôtel est répertorié l'année 2015 + n » et ${\overline{R}}_n$ l'évènement contraire. On a constaté que, chaque année :

   • 10 % des hôtels répertoriés ne seront plus répertoriés l'année suivante d'où $P_{R_n}\left({\overline{R}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$ et $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.
   • 20 % des hôtels non répertoriés sur le site seront répertoriés l'année suivante d'où $P_{{\overline{R}}_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $P_{{\overline{R}}_n}\left({\overline{R}}_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Écrire la matrice de transition de ce graphe.

   La matrice de transition M de ce graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}\hfill & \mathrm{0,1}\hfill \\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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3. En 2015, 30 % des hôtels de la région étaient répertoriés.
   Quel pourcentage d'hôtels sera répertorié en 2016 ? en 2017 ?

   Pour tout nombre entier naturel n, notons :

   • $a_n$ la probabilité qu'un hôtel pris au hasard est répertorié l'année 2015 + n ;
   • $b_n$ la probabilité qu'un hôtel pris au hasard n'est pas répertorié l'année 2015 + n ;
   • $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2015 + n. On a donc $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

   Comme M est la matrice de transition du graphe on a : $$\begin{array}{lrcl}& P_1=P_0\times M& \text{soit}& P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}\hfill & \mathrm{0,1}\hfill \\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,41}& \mathrm{0,59}\end{array}\right)\\ \text{et}& P_2=P_1\times M& \text{soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,41}& \mathrm{0,59}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}\hfill & \mathrm{0,1}\hfill \\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,487}& \mathrm{0,513}\end{array}\right)\end{array}$$

   Selon ce modèle, 41 % des hôtels de la région sont répertoriés en 2016 et en 2017, 48,7 % des hôtels de la région sont répertoriés.

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4. Quel pourcentage d'hôtel serait répertorié à long terme ?

   Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec $a+b=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,2}b& \mathrm{0,1}a+\mathrm{0,8}b\end{array}\right)\end{array}$$

   D'où a et b vérifient la relation $a=\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,2}b$ . Comme d'autre part, $a+b=1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,2}b\\ a+b=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,2}b=0\\ a+b=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}a+b& =& 1\\ \mathrm{0,3}a& =& \mathrm{0,2}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}a={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ b={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\end{array}$$

   À partir d'un certain nombre d'années, près des deux tiers des hôtels de la région seront répertoriés, soit environ 66,7 % des hôtels.

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