sujet : Antilles Guyane 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Afin de lutter contre la pollution de l'air, un département a contraint dès l'année 2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu'elles rejettent dans l'air.
Ces entreprises ont rejeté 410 tonnes de ces polluants en 2013 et 332 tonnes en 2015. On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant.

1. Justifier que l'on peut considérer que l'évolution d'une année sur l'autre correspond à une diminution de 10 %.

   Soit t % le taux de la baisse annuelle moyenne pour les deux années on a : $$\begin{array}{rcl}410\times {\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^2=332& \iff & {\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^2={\displaystyle \frac{332}{410}}\\ & \text{soit}& 1-{\displaystyle \frac{t}{100}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{332}{410}}}\\ & \iff & t=100\times \left(1-\sqrt{{\displaystyle \frac{332}{410}}}\right)\approx \mathrm{10,01}\end{array}$$

   De 2013 à 2015, la masse de polluants rejetés a diminué d'environ 10 % par an.

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2. En admettant que ce taux de 10 % reste constant pour les années à venir, déterminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de 180 tonnes fixé par le conseil départemental.

   Le coefficient multiplicateur associé à une dimution de 10 % est égal à 0,9.

   Notons $u_n$ la masse de polluants rejetés l'année $2015+n$. Alors, la situation peut être modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0=332$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n$.

   $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique décroissante de raison 0,9 et de premier terme $u_0=332$ donc pour tout entier naturel n on a $u_n=332\times {\mathrm{0,9}}^n$.

   La quantité de polluants rejetés par les entreprises ne dépassera plus le seuil de 180 tonnes l'année $2015+n$ où n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcll}332\times {\mathrm{0,9}}^n<180& \iff & {\mathrm{0,9}}^n<{\displaystyle \frac{180}{332}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9}}^n\right)<\ln \left({\displaystyle \frac{180}{332}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,9}<\ln \left({\displaystyle \frac{180}{332}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{180}{332}}\right)}{\ln \mathrm{0,9}}}& \ln \mathrm{0,9}<0\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{180}{332}}\right)}{\ln \mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{5,8}$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $332\times {\mathrm{0,9}}^n<180$ est $n=6$.

   C'est à partir de 2021 que la quantité de polluants rejetés par les entreprises ne dépassera plus le seuil de 180 tonnes fixé par le conseil départemental.

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