sujet : Antilles Guyane 2016

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A, B et C sont indépendantes.

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé.

   • 30 % des clients ont loué une berline et 10 % ont loué un véhicule de luxe d'où $P\left(B\right)=\mathrm{0,3}$ et $P\left(L\right)=\mathrm{0,1}$.
   • 40 % des clients qui ont loué une berline ont choisi l'option d'assurance sans franchise d'où $P_B\left(A\right)=\mathrm{0,4}$.
   • 9 % des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l'option d'assurance sans franchise d'où $P\left(L\cap A\right)=\mathrm{0,09}$.
   • 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l'option d'assurance sans franchise d'où $P\left(U\cap A\right)=\mathrm{0,21}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Quelle est la probabilité que le client ait loué une berline et ait choisi l'option d'assurance sans franchise ?

   $$\begin{array}{ccc}P\left(B\cap A\right)=P_B\left(A\right)\times P\left(B\right)& \text{soit}& P\left(B\cap A\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}\end{array}$$

   La probabilité que le client ait loué une berline et ait choisi l'option d'assurance sans franchise est égale à 0,12.

   ---

3. Calculer la probabilité qu'un client ait choisi l'option d'assurance sans franchise.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{rcl}P\left(A\right)=P\left(B\cap A\right)+P\left(L\cap A\right)+P\left(U\cap A\right)& \text{soit}& P\left(A\right)=\mathrm{0,12}+\mathrm{0,09}+\mathrm{0,21}=\mathrm{0,42}\end{array}$$

   La probabilité qu'un client ait choisi l'option d'assurance sans franchise est égale à 0,42.

   ---

4. Calculer $P_L\left(A\right)$, la probabilité que le client ait souscrit une assurance sans franchise sachant qu'il a loué une voiture de luxe.

   $$\begin{array}{rcl}{P}_L\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{P\left(L\cap A\right)}{P\left(L\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,1}}}=\mathrm{0,9}\end{array}$$

   La probabilité que le client ait souscrit une assurance sans franchise sachant qu'il a loué une voiture de luxe est égale à 0,9.

   ---

partie b

Le temps d'attente au guichet de l'agence de location, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;20\right]$.

1. Quelle est la probabilité d'attendre plus de douze minutes ?

   La variable aléatoire T suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ alors : $$P\left(T⩾12\right)={\displaystyle \frac{20-12}{20-1}}={\displaystyle \frac{8}{19}}$$

   La probabilité d'attendre plus de douze minutes au guichet de l'agence de location est égale à ${\displaystyle \frac{8}{19}}$.

   ---

2. Préciser le temps d'attente moyen.

   L'espérance mathématique de la variable aléatoire T est :$$E\left(T\right)={\displaystyle \frac{20+1}{2}}=\mathrm{10,5}$$

   Le temps d'attente moyen au guichet de l'agence de location est égal à 10 minutes et 30 secondes.

   ---

partie c

Cette agence de location propose l'option retour du véhicule dans une autre agence.
Une étude statistique a établi que le nombre mensuel de véhicules rendus dans une autre agence peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =220$ et d'écart-type $\sigma =30$.
Si pour un mois donné, le nombre de véhicules rendus dans une autre agence dépasse 250 véhicules, l'agence doit prévoir un rapatriement des véhicules.

À l'aide de la calculatrice, déterminer, à 0,01 près, la probabilité que l'agence doive prévoir un rapatriement de véhicules.

$$\begin{array}{rcl}P\left(X>250\right)& =& P\left(X⩾220\right)-P\left(220⩽X⩽250\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(220⩽X⩽250\right)\\ & \approx & \mathrm{0,16}\end{array}$$

La probabilité que l'agence doive prévoir un rapatriement de véhicules est 0,16 arrondie au centième près.

---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.