sujet : Antilles Guyane 2016

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d'une lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement l'inéquation $f\left(x\right)>0$.

   La courbe représentative de la fonction f est au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};6\right]$.

   par lecture graphique, il semblerait que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)>0$ est l'intervalle $\left]\mathrm{0,5};6\right]$.

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2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   Avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du maximum de la fonction f est 2,25 atteint pour $x=\mathrm{1,5}$.

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3. Quel semble être le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[2;6\right]$ ? Justifier.

   La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[2;6\right]$ donc sur cet intervalle, la dérivée $f\prime$est négative.

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4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d'inflexion ?

   Avec la précision permise par le graphique :

   • argument 1

     Il semblerait que la courbe représentative de la fonction f est en dessous de ses tangentes sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{2,5}\right]$ et au dessus de ses tangentes sur l'intervalle $\left[\mathrm{2,5};6\right]$ donc la fonction f change de convexité pour $x=\mathrm{2,5}$.

     Par conséquent, la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $x=\mathrm{2,5}$.

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   • argument 2

     La courbe représentative de la fonction f traverse sa tangente au point I d'abscisse $x=\mathrm{2,5}$ donc

     la courbe admet le point I d'abscisse $x=\mathrm{2,5}$ comme point d'inflexion .

     ---

5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$, la fonction f est positive donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine grisé compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$.

   L'aire du domaine grisé sur la figure peut être encadrée par l'aire du triangle MDC et par l'aire du trapèze MNDC d'où :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2\times 2}{2}}<{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle \frac{2\times \left(2+1\right)}{2}}& \text{soit}& 2<{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<3\end{array}$$

   Ainsi, $2<{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<3$

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partie b

La fonction f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(x\right)=\left(10x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$.
Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) : $f\prime \left(x\right)=\left(-10x+15\right){\mathrm{e}}^{-x}$ et $f″\left(x\right)=\left(10x-25\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. Dresser le tableau de variation de f en précisant la valeur de l'extremum et les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Comme pour tout réel x, on a ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-10x+15\right)$ sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   Or pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}-10x+15⩽0& \iff & x⩽\mathrm{1,5}\end{array}$$

   D'où le tableau des variations de f :

   x	0		1,5		6
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$-5$		$10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}$		$55{\mathrm{e}}^{-6}$

2. Étudier la convexité de f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(10x-25\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   x	0		2,5		6
   Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

3. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-10x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $\left[0;6\right]$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=-10x-5& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-10\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& -10\times {\mathrm{e}}^{-x}-\left(-10x-5\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(-10+10x+5\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(10x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-10x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

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4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Comme F est une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ on a : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(2\right)\\ & =& -45{\mathrm{e}}^{-4}+25{\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=25{\mathrm{e}}^{-2}-45{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{2,56}$.

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5. On souhaiterait que l'aire du rectangle ABCD soit égale à l'aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ : $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩾0& \iff & \left(10x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}⩾0\\ & \iff & 10x-5⩾0\\ & \iff & x⩾\mathrm{0,5}\end{array}$$

   Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$, la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine grisé compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   L'aire $DC\times AD$ du rectangle ABCD est égale à l'aire du domaine grisé équivaut à : $$\begin{array}{rcl}DC\times AD={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \iff & 2\times AD=25{\mathrm{e}}^{-2}-45{\mathrm{e}}^{-4}\\ & \iff & AD=\mathrm{12,5}{\mathrm{e}}^{-2}-\mathrm{22,5}{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{1,28}\end{array}$$

   L'aire du rectangle ABCD est égale à l'aire du domaine grisé sur la figure pour $AD\approx \mathrm{1,28}$.

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   remarque

   La fonction f est positive sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ donc la hauteur AD du rectangle ABCD de même aire que celle du domaine grisé est égale à la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;4\right]$.

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