Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2016

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Le 1^er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3000 élèves.
Une étude statistique interne a montré que chaque 1^er septembre :

10 % de l'effectif quitte l'établissement ;
250 nouveaux élèves s'inscrivent.

On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_{n})$ où, pour tout entier naturel n, $u_{n}$ représente le nombre d'élèves le 1^er septembre de l'année 2015 + n.

Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_{n})$ telle que $u_{0} = 3000$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 250$ .
Le 1^er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3000 élèves d'où $u_{0} = 3000$ .
Chaque année, 10 % de l'effectif quitte l'établissement soit 90 % des élèves ne quittent pas l'ensemble scolaire auxquels il faut rajouter 250 nouveaux élèves d'où $u_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 250$ .
$(u_{n})$ est la suite définie par $u_{0} = 3000$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 250$ .
Pour tout entier naturel n, on pose $v_{n} = u_{n} - 2500$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 2500 \\ = & 0,9 u_{n} + 250 - 2500 \\ = & 0,9 u_{n} - 2250 \\ = & 0,9 \times (u_{n} - 2500) \\ = & 0,9 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,9 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme $v_{0} = 3000 - 2500 = 500$ .
2. Exprimer, pour tout entier naturel n, $v_{n}$ en fonction de n.
  En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 500 \times {0,9}^{n} + 2500$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_{0} = 500$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 500 \times {0,9}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 2500 \Leftrightarrow u_{n} = 2500 + v_{n}$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 500 \times {0,9}^{n} + 2500$ .
Démontrer que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} = - 50 \times {0,9}^{n}$ .
En déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} - u_{n} & = & (500 \times {0,9}^{n + 1} + 2500) - (500 \times {0,9}^{n} + 2500) \\ = & 500 \times {0,9}^{n + 1} - 500 \times {0,9}^{n} \\ = & 500 \times {0,9}^{n} \times (0,9 - 1) \\ = & - 50 \times {0,9}^{n} \end{array}$
Pour tout entier naturel n, on a ${0,9}^{n} > 0$ donc $- 50 \times {0,9}^{n} < 0$ .
Pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ donc la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.
La capacité optimale d'accueil est de 2800 élèves. Ainsi, au 1^er septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.
Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.
L'algorithme suivant permet de répondre au problème posé.
initialisation
U prend la valeur 3000
N prend la valeur 0
traitement
Tant que $U > 2800$
N prend la valeur $N + 1$
U prend la valeur $0,9 \times U + 250$
Fin Tant que
sortie
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initialisation
	U prend la valeur 3000 N prend la valeur 0
traitement
	Tant que $U > 2800$ N prend la valeur $N + 1$ U prend la valeur $0,9 \times U + 250$ Fin Tant que
sortie
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