Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.
On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.
On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,015.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.
Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés donc :
la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres et .
Calculer les probabilités et .
X suit la loi binomiale de paramètres et d'où :
Ainsi, et .
Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.
À l'aide de la calculatrice, on trouve
Arrondie au millième près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses est 0,81.
Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle . Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle .
On note R la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire R suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Calculer la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.
À l'aide de la calculatrice, on trouve
Arrondie au millième près, lla probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture est 0,876.
On note W la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire W suit une loi normale.
Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire W.
L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,95 unité d'aire. La droite d'équation est un axe de symétrie de la courbe.
Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire W. Justifier.
La droite d'équation est un axe de symétrie de la courbe donc la variable aléatoire W suit une loi normale d'espérance .
D'autre part, donc l'écart-type σ vérifie les deux équations et soit .
La variable aléatoire W suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On constate que 94 clés sont sans défaut.
Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.
La fréquence des clés USB qui sont sans défaut dans l'échantillon de 100 clés est
Un intervalle de confiance de la proportion p des clés USB qui sont sans défaut est :
Comme , on en déduit que :
L'intervalle est un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.
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