Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle .
On note la fonction dérivée de f.
La courbe passe par le point et par le point B d'abscisse 1.
La tangente à la courbe au point A passe par le point et la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses.
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
La valeur exacte de est :
a. 0 | b. 1 | c. 1,6 | d. autre réponse |
La valeur exacte de est :
a. 0 | b. 1 | c. 1,6 | d. autre réponse |
La valeur exacte de est :
a. 0 | b. 1 | c. 1,6 | d. autre réponse |
Un encadrement de par des entiers naturels successifs est :
a. | b. | c. | d. autre réponse |
0n admet que la fonction F définie sur par est une primitive de la fonction f.
En déduire l'expression de sur .
Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
Montrer que sur l'intervalle , l'équation admet au moins une solution.
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.
On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.
On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,015.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.
Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Calculer les probabilités et .
Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.
Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle . Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle .
On note R la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire R suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Calculer la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.
On note W la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire W suit une loi normale.
Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire W.
L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,95 unité d'aire. La droite d'équation est un axe de symétrie de la courbe.
Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire W. Justifier.
Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On constate que 94 clés sont sans défaut.
Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.
Le 1er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3000 élèves.
Une étude statistique interne a montré que chaque 1er septembre :
On cherche à modéliser cette situation par une suite où, pour tout entier naturel n, représente le nombre d'élèves le 1er septembre de l'année 2015 + n.
Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite telle que et, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, on pose .
Démontrer que la suite est géométrique de raison 0,9. Préciser .
Exprimer, pour tout entier naturel n, en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n, .
Démontrer que pour tout entier naturel n, .
En déduire le sens de variation de la suite .
La capacité optimale d'accueil est de 2800 élèves. Ainsi, au 1er septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.
Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.
On considère le graphe 𝒢 ci-dessous :
En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.
On considère la matrice M ci-après (a, b, c et d sont des nombres réels).
Déterminer les réels a, b, c et d pour que la matrice M représente la matrice d'adjacence associée au graphe 𝒢, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.
On donne Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à J. Préciser ces chemins.
On oriente et on pondère le graphe 𝒢 ci-dessus pour qu'il représente un réseau d'irrigation.
Déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d'eau en A et le bassin d'infiltration en K et donner sa longueur.
D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que :
On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.
Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?
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