Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-1;5].
On note f la fonction dérivée de f.
La courbe 𝒞f passe par le point A(0;1) et par le point B d'abscisse 1.
La tangente T0 à la courbe au point A passe par le point C(2;3) et la tangente T1 au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. La valeur exacte de f(1) est :

    La tangente T1 à la courbe 𝒞f au point B d'abscisse 1 est est parallèle à l'axe des abscisses d'où f(1)=0.


    a. 0

    b. 1

    c. 1,6

    d. autre réponse

  2. La valeur exacte de f(0) est :

    Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente T0 à la courbe 𝒞f au point A(0;1) passant par le point C(2;3) d'où : f(0)=3-12-0=1

    a. 0

    b. 1

    c. 1,6

    d. autre réponse

  3. La valeur exacte de f(1) est :

    Avec la précision permise par le graphique on ne peut pas connaître la valeur exacte de f(1). Le maximum de la fonction f est f(1)<1,5

    a. 0

    b. 1

    c. 1,6

    d. autre réponse

  4. Un encadrement de 02f(x)dx par des entiers naturels successifs est :

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Le maximum de la fonction f est f(1)<1,5. L'aire du domaine hachuré limité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2 est comprise entre l'aire de deux rectangles :2×1<02f(x)dx<2×1,52<02f(x)dx<3

    a. 302f(x)dx4

    b. 202f(x)dx3

    c. 102f(x)dx2

    d. autre réponse

partie b

  1. 0n admet que la fonction F définie sur [-1;5] par F(x)=-(x2+4x+5)e-x est une primitive de la fonction f.

    1. En déduire l'expression de f(x) sur [-1;5].

      F est une primitive de la fonction f sur [-1;5] donc pour tout réel x de l'intervalle [-1;5] on a F(x)=f(x).

      La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
      F=uv d'où F=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [-1;5] : {u(x)=-(x2+4x+5);u(x)=-(2x+4)v(x)=e-x;v(x)=-e-x

      Soit pour tout réel x de l'intervalle [-1;5], F(x)=-(2x+4)×e-x+(x2+4x+5)×e-x=(x2+2x+1)×e-x=(x+1)2×e-x

      Ainsi, la fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle [-1;5] par f(x)=(x+1)2e-x.


    2. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2.

      Pour tout réel x, on a e-x>0 et (x+1)20 donc sur l'intervalle [-1;5] : f(x)0.

      La fonction f est positive par conséquent l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan limité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2 est égale à l'intégrale : 02f(x)dx=F(2)-F(1)=-17e-2+5

      L'aire du domaine du plan limité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2 est égale à (5-17e-2) unités d'aire.


  2. Montrer que sur l'intervalle [1;5], l'équation f(x)=1 admet au moins une solution.

    La fonction f est dérivable donc continue, f(1)=4e-11,47 et f(5)=36e-50,24 alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires :

    l'équation f(x)=1 admet au moins une solution sur l'intervalle [1;5].



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