Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que :

60 % de la population sont des femmes ;
56 % des femmes travaillent à temps partiel ;
36 % de la population travaillent à temps partiel.

On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.
Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?

Notons :

F l'évènement : « La personne interrogée est une femme » ;
T l'évènement : « La personne interrogée travaille à temps partiel».

Il s'agit alors de calculer la probabilité $p_{T} (\bar{F}) = \frac{p (\bar{F} \cap T)}{p (T)}$ .

D'après les données de l'enquête : $p (F) = 0,6$ d'où $p (\bar{F}) = 1 - 0,6 = 0,4$ ; $p_{F} (T) = 0,56$ et $p (T) = 0,36$ .
Les évènements F et T sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : $\begin{matrix} p (T) = p (F \cap T) + p (\bar{F} \cap T) & \Leftrightarrow & p (\bar{F} \cap T) = p (T) - p (F \cap T) \end{matrix}$
Or $\begin{matrix} p (F \cap T) = p_{F} (T) \times p (F) & soit & p (F \cap T) = 0,56 \times 0,6 = 0,336 \end{matrix}$
Donc $p (\bar{F} \cap T) = 0,36 - 0,336 = 0,024$
Ainsi, $p_{T} (\bar{F}) = \frac{0,024}{0,36} = \frac{1}{15}$

La probabilité qu'une personne qui travaille à temps partiel soit un homme est égale à $\frac{1}{15}$ .

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