sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

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1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.
   Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est :

   La fréquence des stagiaires satisfaits dans l'échantillon de 300 stagiaires est $f={\displaystyle \frac{225}{300}}=\mathrm{0,75}$

   Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation est : $$I_C=\left[\mathrm{0,75}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{300}}};\mathrm{0,75}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{300}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,692};\mathrm{0,808}\right]$$

   a. $\left[\mathrm{0,713};\mathrm{0,771}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,692};\mathrm{0,808}\right]$

   c. $\left[\mathrm{0,754};\mathrm{0,813}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,701};\mathrm{0,799}\right]$

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\left[4;11\right]$. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

   Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $\left[4;11\right]$ alors : $$P\left(X⩽10\right)={\displaystyle \frac{10-4}{11-4}}={\displaystyle \frac{6}{7}}$$

   a. ${\displaystyle \frac{6}{11}}$

   b. ${\displaystyle \frac{10}{7}}$

   c. ${\displaystyle \frac{10}{11}}$

   d. ${\displaystyle \frac{6}{7}}$

3. On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}$. La fonction f est dérivable sur $ℝ$ et sa fonction dérivée $f\prime$ est donnée par :

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x+3}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x+3}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-2x+3}-2\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}\hfill \\ & =& \left(-2x-1\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}\hfill \end{array}$$

   a. $f\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x+3}$

   b. $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x+3}$

   c. $f\prime \left(x\right)=\left(-2x+3\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}$

   d. $f\prime \left(x\right)=\left(-2x-1\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}$

4. On considère une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ telle que sa fonction dérivée $f\prime$ soit aussi dérivable sur $ℝ$. La courbe ci-contre représente la fonction $f″$.
   On peut alors affirmer que :

   Par lecture graphique, on constate que la dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=1$ par conséquent, la courbe représentative de la fonction f admet pour point d'inflexion le point d'abscisse 1.

   a. f est convexe sur $\left[-2;2\right]$	b. f est concave sur $\left[-2;2\right]$.
   c. La courbe représentative de f sur $\left[-2;2\right]$ admet un point d'inflexion.	d. $f\prime$ est croissante sur $\left[-2;2\right]$.

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