sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2016

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un loueur de voitures dispose au 1^er mars 2015 d'un total de 10 000 voitures pour l'Europe.
Afin d'entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1^er mars de chaque année, 25% de son parc et d'acheter 3 000 voitures neuves.
On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite :
Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1^er mars de l'année 2015 + n.
On a donc $u_0=\mathrm{10\; 000}$.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n+\mathrm{3\; 000}$.

   Chaque année, 25 % du parc automobile est revendu et, le loueur achète 3 000 voitures neuves d'où, pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n+\mathrm{3\; 000}$.

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2. Pour tout entier naturel n, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=u_n-\mathrm{12\; 000}$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-12000\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n+3000-12000\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n-9000\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}\times \left(u_n-12000\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,75}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75 dont le premier terme $v_0=10000-12000=-2000$.

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   2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
      Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

      • $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $v_0=-2000$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_n=-2000\times {\mathrm{0,75}}^n$.

        ---

      • $0<\mathrm{0,75}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,75}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-2000\times {\mathrm{0,75}}^n=0$.

        La suite $\left(v_n\right)$ converge vers 0.

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   3. Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{12\; 000}-\mathrm{2\; 000}\times {\mathrm{0,75}}^n$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-12000\iff u_n=12000+v_n$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, on a $u_n=12000-2000\times {\mathrm{0,75}}^n$.

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   4. En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années ?

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }-2000\times {\mathrm{0,75}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }12000-2000\times {\mathrm{0,75}}^n=12000$

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=12000$ donc à partir d'un certain nombre d'années, le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur sera proche de 12 000.

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3. On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

   1. Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.

      		AU CHOIX
      initialisation			initialisation
      	U prend la valeur 10 000 N prend la valeur 0			U prend la valeur 10 000 N prend la valeur 0
      traitement			traitement
      	Tant que $U<11950$ N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $\mathrm{0,75}\times U+3000$ Fin Tant que			Tant que $U<11950$ N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $12000-2000\times {\mathrm{0,75}}^N$ Fin Tant que
      sortie			sortie
      	Afficher $2015+N$			Afficher $2015+N$

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.

      À partir de 2028, le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

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   3. Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation $\mathrm{12\; 000}-\mathrm{2\; 000}\times {\mathrm{0,75}}^n⩾\mathrm{11\; 950}$.

      $$\begin{array}{rcll}12000-2000\times {\mathrm{0,75}}^n⩾11950& \iff & -2000\times {\mathrm{0,75}}^n⩾-50& \\ & \iff & {\mathrm{0,75}}^n⩽\mathrm{0,025}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,75}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,025}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,75}⩽\ln \mathrm{0,025}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,025}}{\ln \mathrm{0,75}}}& \ln \mathrm{0,75}<0\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,025}}{\ln \mathrm{0,75}}}\approx \mathrm{12,8}$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n⩾11950$ est $n=13$.

      C'est à partir de 2028 que le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

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